Contoh Soal Kesamaan Dua Matriks

A. Transpose Matriks

Transpose dari matriks A dilambangkan dengan $A’$, $A^t$ atau $A^T$.
Transpose suatu matriks dapat ditentukan dengan cara:

1. mengubah baris menjadi kolom dan
2. mengubah kolom menjadi baris.

Catatan:
Jika matriks A saama dengan transpose matriks A yaitu$A=A^t$ maka matriks A disebut matriks simetris.
Contoh:

Tentukanlah transpose dari matriks-matriks berikut:
$A = \left( \begin{matrix} seven & 6 \\ 13 & ii \\ \end{matrix} \right)$; $B = \left( \begin{matrix} -5 & half-dozen & seven \\ 2 & ane & 8 \\ 3 & four & -7 \\ \terminate{matrix} \right)$; dan $C = \left( \brainstorm{matrix} 6 & 4 & 5 \\ 0 & -2 & -9 \\ \end{matrix} \right)$

Penyelesaian:

$A^t= \left( \begin{matrix} 7 & 13 \\ half dozen & 2 \\ \cease{matrix} \right)$
$B^t = \left( \begin{matrix} -5 & ii & 3 \\ 6 & 1 & 4 \\ vii & 8 & -7 \\ \cease{matrix} \right)$
$C^t = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ four & -2 \\ 5 & -nine \\ \end{matrix} \right)$

B. Kesamaan Matriks

Dua matriks dikatakan sama jika ordo kedua matriks sama dan elemen-elemen yang seletak bernilai sama.
Contoh:

Diketahui matriks $A=\left( \brainstorm{matrix} 2x-y & -three \\ -iv & -8 \\ \end{matrix} \right)$ dan matriks $B = \left( \brainstorm{matrix} -2 & -iii \\ -4 & 3x+y \\ \stop{matrix} \correct)$. Jika $A=B$ maka nilai dari $2x+y$ adalah …
Penyelesaian:

$\brainstorm{align}A &= B \\ \left( \begin{matrix} 2x-y & -3 \\ -4 & -8 \\ \end{matrix} \correct) &= \left( \begin{matrix} -2 & -3 \\ -iv & 3x+y \\ \end{matrix} \right) \end{align}$
$2x-y=-2$
$3x+y=-8$
————– (+)
$\brainstorm{align}5x &= -ten \\ x &= -2 \end{marshal}$
Substitusi $x=-2$ ke:
$\begin{align}3x+y &= -8 \\ 3(-2)+y &= -8 \\ y &= -2 \end{align}$
maka nilai $2x+y=2(-ii)+(-2)=-6$

C. Operasi Aljabar pada Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Syarat:

Dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika matriks-matriks tersebut memiliki ordo yang sama, dinotasikan dengan:
$A_{m\times n}+B_{one thousand\times due north} = C_{m\times northward}$
Cara menjumlahkan/mengurangkan dua matriks yaitu jumlahkan atau kurangkan elemen-elemen yang seletak.
Contoh ane.

Diketahui matriks $A = \left( \brainstorm{matrix} xiii & -5 & 6 \\ seven & -sixteen & 8 \\ \terminate{matrix} \correct)$ dan $B = \left( \begin{matrix} -20 & -13 & four \\ 9 & 5 & -20 \\ \end{matrix} \right)$ maka $A+B$ = …
Penyelesaian:

A + B
= $\left( \brainstorm{matrix} xiii & -five & six \\ vii & -16 & 8 \\ \end{matrix} \correct)+\left( \begin{matrix} -20 & -13 & 4 \\ 9 & 5 & -20 \\ \end{matrix} \right)$
= $\left( \begin{matrix} thirteen+(-20) & -5+(-13) & half dozen+iv \\ seven+9 & -xvi+five & viii+(-20) \\ \end{matrix} \right)$ = $\left( \begin{matrix} -17 & -18 & 10 \\ sixteen & -11 & -12 \\ \finish{matrix} \right)$
Contoh 2.

Diketahui matriks $A = \left( \brainstorm{matrix} 5m+ii & four \\ 3n+thou & 22 \\ \end{matrix} \right)$; $B = \left( \begin{matrix} 3m+two & 0 \\ 28 & 14 \\ \end{matrix} \right)$ dan $C = \left( \begin{matrix} 20 & -4 \\ 12 & -viii \\ \end{matrix} \right)$ . Jika $B-A=C$ maka $2m-3n$ = …
Penyelesaian:



$-2m = 20 \Leftrightarrow m = -10$
$\begin{align}28-3n-m &= 12 \\ -3n-m &= -16 \\ -3n+10 &= -16 \\ -3n &= -26 \\ 3n &= 26 \end{align}$
maka $2m-3n=2(-ten)-26=-46$.

2. Perkalian Skalar dengan Suatu Matriks

Suatu matriks dapat dikalikan dengan bilangan real k, dalam hal ini one thousand adalah skalar.
Cara mengalikan bilangan $k\in R$ terhadap suatu matriks adalah dengan mengalikan semua elemen pada matriks tersebut dengan $k$.
Contoh:

Jika matriks $A = \left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right)$ maka:
$thousand.A = \left( \begin{matrix} one thousand.a & k.b \\ 1000.c & k.d \\ \end{matrix} \right)$
$k.A = one thousand\left( \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \cease{matrix} \right)$

iii. Perkalian Matriks dengan Matriks

Syarat:

Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua.
Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut:
$A_{m\times n}.B_{n\times p} = C_{1000\times p}$
Contoh i.

Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 7 & five \\ 4 & 3 \\ \end{matrix} \right)$, $B = \left( \begin{matrix} 2 & -6 \\ -1 & 8 \\ \end{matrix} \right)$ dan $C = \left( \brainstorm{matrix} two & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \correct)$.
Tentukan hasil perkalian A.B dan B.A, kemudian periksa apakah AB sama dengan BA?
Penyelesaian:



Dari hasil perkalian matriks di atas dapat disimpulkan bahwa pada perkalian matriks $A.B\ne B.A$.

Contoh 2.

Diketahui matriks $P=\left( \begin{matrix} two & -3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \\ \end{matrix} \right)$ dan $Q = \left( \begin{matrix} 4 & six \\ 5 & 9 \\ 7 & eight \\ \end{matrix} \right)$ tentukan hasil perkalian dari $P.Q$ dan $Q.P$, kemudian periksa hubungan PQ dengan QP.
Penyelesaian:



Jadi, $P.Q\ne Q.P$

Contoh 3.

Nilai $x$ yang memenuhi persamaan

adalah …
Penyelesaian:

D. Soal Latihan

1. Diketahui matriks $P = \left( \brainstorm{matrix} 4 & -ten \\ 12 & eleven \\ \end{matrix} \right)$ dan $Q = \left( \begin{matrix} 2 & -5 \\ iii & half-dozen \\ \cease{matrix} \right)$. Tentukanlah $3P-5Q$.
2. Diketahui matriks $Thousand = \left( \begin{matrix} ii & vii \\ four & -2 \\ -one & five \\ \terminate{matrix} \correct)$. Tentukanlah transpose matriks Thousand.
3. Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} 6 & 4 \\ -iii & -ii \\ \cease{matrix} \right)$, $B = \left( \begin{matrix} -1 & -five \\ 0 & 3p+1 \\ \finish{matrix} \correct)$ dan $C = \left( \begin{matrix} two & 3 \\ eight & 5 \\ \end{matrix} \right)$. Jika $3A+2B=C^T$ dimana $C^T$ adalah transpose matriks C, maka nilai $p$ adalah …
4. Diketahui matriks $A = \left( \begin{matrix} vii & 9 \\ 8 & 11 \\ \end{matrix} \right)$ dan $B = \left( \begin{matrix} three & 4 \\ 2 & one \\ \end{matrix} \right)$. Tentukanlah AB dan BA.
5. Nilai $a$ yang memenuhi
   
   adalah …

Dapatkan Update terbaru, subscribe channel kami: