Contoh Soal Integral Substitusi Trigonometri

Blog Koma
– Teknik integral berikutnya yang akan kita pelajari adalah
Teknik Integral Substitusi Trigonometri. Teknik integral ini kita gunakan biasanya jika “Teknik Integral Substitusi Aljabar” maupun “teknik integral parsial” tidak bisa menyelesaikan soal integralnya.
Teknik Integral Substitusi Trigonometri
secara khusus digunakan jika ada bentuk $ \sqrt{a^2 – b^2x^two}, \, \sqrt{a^2 + b^2x^2} , \, $ dan bentuk $ \sqrt{a^2x^ii – b^2 } $. Untuk lebih jelasnya, kita perhatikan penjelasannya berikut ini.

Contoh invers trigonometri :

1). Tentukan invers dari :

a). $ \sin t = \frac{1}{2} $

b). $ \cos t = 3x $

c). $ \tan t = \frac{x – ii}{5} $

Penyelesaian :

a). $ \sin t = \frac{1}{two} \rightarrow t = arc \sin \frac{1}{two} \rightarrow t = thirty^\circ $

b). $ \cos t = 3x \rightarrow t = arc \cos (3x) $

c). $ \tan t = \frac{10 – two}{5} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x – 2}{5} \right) $

Contoh Soal :

ii). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{x^two}{\sqrt{ane-x^2}} dx $ ?

Penyelesaian :

*). Soal ini akan sulit kita selesaikan dengan substitusi aljabar maupun teknik parsial, sehingga kita selesaikan dengan teknik substitusi trigonometri.

*). Bentuk $ \sqrt{1-10^2} , \, $ substitusi $ ten = \sin t \, $ atau $ \, x = \cos t $.

*). Pertama, kita substitusi dengan $ x = \sin t $.

$ x = \sin t \rightarrow t = arc \sin x $

$ x = \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \cos t \rightarrow dx = \cos t dt $.

$ \sqrt{1-10^2} = \sqrt{1-(\sin t) ^2 } = \sqrt{\cos ^2 t } = \cos t $.

Gunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{ii} – \frac{1}{two} \cos 2t $.

dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.

Serta $ \cos t = \sqrt{i – \sin ^two t } = \sqrt{ 1 – x^2 } $

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :

$ \begin{align} \int \frac{10^2}{\sqrt{ane-ten^ii}} dx & = \int \frac{(\sin t)^2}{ \cos t } \cos t dt \\ & = \int (\sin t)^ii dt \\ & = \int \frac{one}{2} – \frac{1}{two} \cos 2t dt \\ & = \frac{1}{ii}t – \frac{one}{ii} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{i}{2}t – \frac{ane}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{ane}{2}t – \frac{ane}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = \frac{1}{2}t – \frac{one}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = \frac{i}{ii} arc \sin x – \frac{1}{2} ten \sqrt{ i – x^2 } + c \\ & = \frac{1}{2} arc \sin ten – \frac{x}{2} \sqrt{ 1 – x^2 } + c \end{align} $

Jadi, hasilnya : $ \int \frac{x^ii}{\sqrt{1-x^two}} dx = \frac{ane}{ii} arc \sin x – \frac{x}{two} \sqrt{ 1 – x^two } + c $ .

*). Kedua, kita substitusi dengan $ x = \cos t $.

$ x = \cos t \rightarrow t = arc \cos x $

$ x = \cos t \rightarrow \frac{dx}{dt} = -\sin t \rightarrow dx = -\sin t dt $.

$ \sqrt{1-10^2} = \sqrt{1-(\cos t) ^2 } = \sqrt{\sin ^two t } = \sin t $.

Gunakan rumus : $ \cos ^2 t = \frac{one}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t $.

dan $ \sin 2t = 2 \sin t \cos t $.

Serta $ \sin t = \sqrt{1 – \cos ^ii t } = \sqrt{ 1 – 10^2 } $

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :

$ \begin{align} \int \frac{x^2}{\sqrt{i-ten^2}} dx & = \int \frac{(\cos t)^ii}{ \sin t } . – \sin t dt \\ & = -\int (\cos t)^two dt \\ & = – \int \frac{1}{two} + \frac{i}{2} \cos 2t dt \\ & = – ( \frac{1}{two}t + \frac{1}{2} . \frac{ane}{ii} \sin 2t ) + c \\ & = -\frac{ane}{2}t – \frac{1}{four} \sin 2t + c \\ & = -\frac{1}{2}t – \frac{1}{4} . 2 \sin t \cos t + c \\ & = -\frac{one}{2}t – \frac{1}{2} \sin t \cos t + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } x) \\ & = -\frac{1}{ii} arc \cos ten – \frac{1}{ii} . \sqrt{ 1 – x^2 } . x + c \\ & = -\frac{1}{ii} arc \cos x – \frac{10}{2} \sqrt{ 1 – 10^2 } + c \cease{align} $

Jadi, hasilnya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx = – \frac{ane}{2} arc \cos x – \frac{x}{2} \sqrt{ 1 – x^two } + c $ .

Kedua permisalan di atas memberikan hasil yang berbeda, tapi kedua hasil integralnya sama-sama benar. Jika soalnya ada pilihannya (opsinya), maka hanya salah satu saja yang pasti ada, tidak mungkin keduanya. Dan jika soalnya berupa essay, maka hasilnya tergantung substitusi trigonometri yang kita pilih, dan keduanya benar.

3). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{10^two}{\sqrt{4-9x^2}} dx $ ?

Penyelesaian :

*). Bentuknya adalah $ \sqrt{four-9x^two} = \sqrt{2^two-3^2x^2} , \, $ substitusi $ x = \frac{ii}{3} \sin t $.

$ 10 = \frac{2}{3} \sin t \rightarrow \sin t = \frac{3x}{two} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) $

$ 10 = \frac{two}{3} \sin t \rightarrow \frac{dx}{dt} = \frac{2}{3} \cos t \rightarrow dx = \frac{2}{3} \cos t dt $.

$ \brainstorm{align} \sqrt{14-9x^2} & = \sqrt{4-9(\frac{2}{iii}\sin t) ^2 } = \sqrt{4-9.\frac{4}{9}\sin^2 t } = \sqrt{4-4\sin^two t } \\ & = \sqrt{4(one – \sin ^2 t) } = \sqrt{iv\cos ^ 2 t } = 2 \cos t \cease{align} $.

Gunakan rumus : $ \sin ^2 t = \frac{1}{ii} – \frac{one}{2} \cos 2t $.

dan $ \sin 2t = two \sin t \cos t $.

Serta $ \cos t = \sqrt{1 – \sin ^2 t } = \sqrt{ 1 -(\frac{3x}{2})^2 } = \sqrt{ 1 -\frac{nine}{4}x^ii } $

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ ten \, $ dan $ dx \, $ nya :

$ \begin{align} \int \frac{x^ii}{\sqrt{iv-9x^2}} dx & = \int \frac{(\frac{2}{3} \sin t)^ii}{ 2 \cos t } . \frac{2}{3} \cos t dt \\ & = \int \frac{\frac{4}{ix} \sin ^two t }{ 2 \cos t } . \frac{ii}{3} \cos t dt \\ & = \frac{iv}{27} \int \sin ^ii t dt \\ & = \frac{4}{27} \int \frac{1}{2} – \frac{i}{2} \cos 2t dt \\ & = \frac{iv}{27} ( \frac{1}{2}t – \frac{i}{2} . \frac{1}{ii} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27}( \frac{1}{2}t – \frac{1}{iv} \sin 2t ) + c \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2}t – \frac{i}{4} . two \sin t \cos t ) + c \\ & = \frac{4}{27} (\frac{1}{two}t – \frac{1}{2} \sin t \cos t ) + c \, \, \, \, \, \text{(ubah dalam bentuk } 10) \\ & = \frac{4}{27} ( \frac{1}{2} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \correct) – \frac{1}{ii} \frac{3x}{two} \sqrt{ 1 -\frac{9}{4}x^2 } ) + c \\ & = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) – \frac{ten}{9} \sqrt{ 1 – x^2 } + c \terminate{align} $

Jadi, hasilnya : $ \int \frac{x^2}{\sqrt{four-9x^ii}} dx = \frac{2}{27} arc \sin \left( \frac{3x}{2} \right) – \frac{x}{9} \sqrt{ ane – x^ii } + c $ .

iv). Tentukan hasil integral dari $ \int \frac{1}{4 + x^2} dx $ ?

Penyelesaian :

*). Bentuknya adalah $ four + ten^2 , \, $ substitusi $ ten = 2 \tan t $.

$ x = 2 \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x}{2} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x}{2} \correct) $

$ 10 = ii \tan t \rightarrow \frac{dx}{dt} = 2 \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.

$ \begin{align} 4 + x^2 & = 4 + (ii \tan t)^2 = 4 + 4 \tan ^two t = four(ane+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \end{align} $.

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :

$ \begin{align} \int \frac{1}{four + x^2} dx & = \int \frac{ane}{four \sec ^2 t} . 2 \sec ^two t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{ii} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x}{2} \right) + c \end{align} $

Jadi, hasilnya : $ \int \frac{ane}{4 + x^two} dx = \frac{1}{ii} arc \tan \left( \frac{ten}{ii} \right) + c $ .

five). Tentukan hasil integral $ \int \sqrt{8 + 2x – x^2 } dx $ ?

Penyelesaian :

*). Mengubah fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna,

$ \brainstorm{align} 8 + 2x – 10^2 & = 9 – ane + 2x – x^two \\ & = 9 – (1 – 2x + ten^2) \\ & = 9 – (ten-ane)^2 \finish{align} $

*). Bentuknya adalah $ 9 – (x-1)^2 , \, $ substitusi $ ten – 1 = 3 \sin t $.

$ x – i = iii \sin t \rightarrow \sin t = \frac{x-ane}{iii} \rightarrow t = arc \sin \left( \frac{ten-1}{3} \right) $

$ x – 1 = 3 \sin t \rightarrow x = 3\sin t + 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = iii\cos t \rightarrow dx = 3 \cos t dt $.

$ \begin{marshal} \sqrt{eight + 2x – x^two }& = c = \sqrt{ix – (3\sin t)^2 } = \sqrt{9 – 9\sin^ii t } \\ & = \sqrt{9(one – \sin ^ii t) } = \sqrt{nine\cos ^ 2 t } = 3 \cos t \end{align} $.

Gunakan rumus : $ \cos ^2 t = \frac{ane}{2} + \frac{one}{2} \cos 2t $.

dan $ \sin 2t = ii \sin t \cos t $.

Serta $ \cos t = \sqrt{one – \sin ^ii t } = \sqrt{ 1 -(\frac{ten-1}{3} )^two } = \sqrt{ 1 -\frac{ane}{9}(ten-1)^2 } $

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ x \, $ dan $ dx \, $ nya :

$ \begin{align} \int \sqrt{eight + 2x – x^2 } dx & = \int \sqrt{9 – (iii\sin t)^2 } dx \\ & = \int three \cos t . three \cos t dt \\ & = 9 \int \frac{one}{2} + \frac{1}{2} \cos 2t dt \\ & = ix ( \frac{1}{2} t + \frac{1}{two} . \frac{1}{2} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{2} t + \frac{9}{4} \sin 2t + c \\ & = \frac{9}{two} t + \frac{9}{4} . 2\sin t \cos t + c \\ & = \frac{nine}{ii} t + \frac{9}{ii} \sin t \cos t + c \\ & = \frac{9}{two} arc \sin \left( \frac{10-i}{3} \right) + \frac{9}{2} . \frac{10-1}{3} . \sqrt{ i -\frac{1}{ix}(x-1)^2 } + c \\ & = \frac{ix}{2} arc \sin \left( \frac{ten-one}{3} \right) + \frac{3}{2} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(ten-one)^2 } + c \end{align} $

Jadi, hasilnya : $ \int \sqrt{viii + 2x – 10^2 } dx = \frac{9}{2} arc \sin \left( \frac{x-ane}{3} \correct) + \frac{3}{two} (x-1) \sqrt{ 1 -\frac{1}{9}(x-one)^2 } + c $ .

6). Tentukan hasil integral $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx $ ?

Penyelesaian :

*). Mengubah fungsi menjadi bentuk kuadrat sempurna,

$ \begin{align} 10^2 + 2x + five & = (x^2 + 2x + 1 ) + 4 \\ & = (10+one)^ii + 4 \finish{align} $

*). Bentuknya adalah $ (x+1)^2 + 4 , \, $ substitusi $ 10 + i = 2 \tan t $.

$ x + i = two \tan t \rightarrow \tan t = \frac{x+1}{ii} \rightarrow t = arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \correct) $

$ x + 1= ii \tan t \rightarrow x = 2\tan t – 1 \rightarrow \frac{dx}{dt} = two \sec ^2 t \rightarrow dx = 2 \sec ^2 t dt $.

$ \begin{align} (x+1)^ii + 4 & = (two\tan t)^two + 4 = 4\tan ^2 t + iv = 4(i+\tan ^2 t) \\ & = 4 \sec ^2 t \finish{marshal} $.

Kembali ke soalnya, kita ganti semua variabel $ 10 \, $ dan $ dx \, $ nya :

$ \begin{align} \int \frac{1}{(x+1)^ii + 4} dx & = \int \frac{1}{4 \sec ^ii t} . ii \sec ^ii t dt \\ & = \int \frac{1}{2} dt \\ & = \frac{1}{2} t + c \\ & = \frac{1}{2} arc \tan \left( \frac{x+ 1}{2} \correct) + c \terminate{align} $

Jadi, hasilnya : $ \int \frac{1}{x^2 + 2x + 5 } dx = \frac{1}{two} arc \tan \left( \frac{x+1}{2} \right) + c $ .