Contoh Soal Fungsi Kuadrat Beserta Jawabannya

Postingan ini membahas contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawabannya. Lalu apa itu fungsi kuadrat ?. Suatu fungsi
f
pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax²
+ bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.

Berdasarkan nilai diskriminannya (D = bⁱⁱ
– 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax²
+ bx + c) ) terdiri dari six kemungkinan yaitu sebagai berikut.

1. Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu 10 di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
2. Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
3. Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
4. Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
5. Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
6. Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik baliknya maksimum.

Rumus yang berlaku pada fungsi kuadrat sebagai berikut.

Contoh soal fungsi kuadrat

Contoh soal i

Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = ten²
+ 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menggambar
grafik fungsi kuadrat
sebagai berikut:

Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:

xii
+ 4x – 21 = 0

(xi
+ 7) (x2
– 3) = 0

x1
= -7 dam x2
= iii

Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0)

Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi ten = 0 atau f(0)

f(x) = xtwo
+ 4x – 21

f(0) = 02
+ four . 0 – 21 = -21

Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)

Menentukan titik balik (xp
, yp) dengan rumus dibawah ini:

xp
=

-b

2a

=

-4

2 . ane

= – 2.

yp
=

– D

iv . a

=

– (bii
– 4 . a . c)

4 . a

yp
=

– (4two
– 4 . one . -21)

four . 1

= – 25.

Jadi titik balik (-ii ; -25)

Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:

---

Contoh soal 2

Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.

1. y = x²
   + 9x + twenty
2. y = 2x²
   – 3x + i

Pembahasan / penyelesaian soal

1. a = 1 dan D = b²
   – 4ac = 9²
   – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = ane. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
2. a = ii dan D = b²
   – 4ac = -3^two
   – 4 . ii . 1 = nine – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.

---

Contoh soal 3

Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.

1. y = 3x²
   – 4x – 2
2. y = 4x²
   – 3x + five

Pembahasan / penyelesaian soal

Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.

1. a = three dan D = b²
   – 4ac = (-iv)²
   – four . three . -2 = sixteen + 24 = twoscore. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
2. a = ane dan D = b²
   – 4ac = (-iii)²
   – 4 . four . v = 9 – lxxx = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.

---

Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)

Contoh soal ane

Persamaan sumbu simetri dari f(x) = half dozen – 5x – x^two
adalah …
A. 10 = -two
B. x = two
C. ten = -2

D. 10 = three
E. x = v

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = -1
• b = -5
• c = six

Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.

→ Pers. sumbu simetri = –

b

2a

→ Pers. sumbu simetri = –

-5

2 . -1

= -2

1

2

Soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 2

Grafik fungsi f(x) = ten²
+ 4x – xxx simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …
A. -4
B. -two
C. -1
D. ii
E. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –

b

2a

→ a = –

4

2 . ane

= -two

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 3

Nilai chiliad agar grafik fungsi y = (m – 1)ten²
– 2mx + (chiliad – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …
A. k = 1
B. m > 1
C. grand < 1
D. one thousand > 3/4
E. m < three/4

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = chiliad – one
• b = -2m
• c = m – 3

Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.

• a < 0
• one thousand – 1 < 0
• m < i
• D < 0
• b²
  – 4ac < 0
• (-2m)²
  – 4 (g – i) (1000 – 3) < 0
• 4mⁱⁱ
  – iv (k^two
  – 4m + 3) < 0
• 4m^two
  – 4m2 + 16m – 12 < 0
• 16m – 12 < 0
• 16m < 12
• m <
  
• thousand < 3/4

Syarat ane dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.

Jadi nilai k < 3/4. Soal ini jawabannya E.

---

Contoh soal 4

Koordinat titik balik grafik y = x²
– 6x + eight adalah …
A. (3, -1)
B. (-3, -1)
C. (4, two)
D. (half-dozen, 8)
E. (-6, viii)

Pembahasan / penyelesaian soal

Diketahui:

• a = i
• b = -vi
• c = 8

Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.

→ x = –

b

2a

→ 10 = –

-six

two . one

= iii

→ y = –

D

4a

→ y = –

b²
– 4ac

4a

→ y = –

(-half dozen)²
– four . 1 . viii

iv . 1

→ y = –

36 – 32

4

= -1

Jadi koordinat titik balik (3, -1). Soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 5

Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = ten^two
– 2x – iii adalah …
A. (1, iv)
B. (-1, 4)
C. (4, 1)
D. (one, -iv)
E. (-1, -iv)

Pembahasan / penyelesaian soal

→ x = –

b

2a

→ x = –

-2

two . 1

= 1

→ y = –

D

4a

→ y = –

bⁱⁱ
– 4ac

4a

→ y = –

(-ii)²
– 4 . i . -3

four . ane

→ y = –

four + 12

4

= -4

Jadi titik baliknya (1, -iv). Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 6

Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = ten²
– 2x + fifteen

B. y = 10²
– 2x – 15

C. y = 10²
+ 2x + xv

D. y = x²
– 8x – 15
E. y = x²
– 8x + 15

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• x1
  = -5
• 102
  = -three
• y = xv

Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:

• y = a (x – xone) (x – xii)
• y = a (10 – (-five)) (ten – (-3))
• y = a (x + 5) (x + iii)
• y = a (tentwo
  + 3x + 5 x + 15)
• y = a (xii
  + 8x + 15)

Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = xv sehingga didapat:

• 15 = a (0two
  + eight . 0 + fifteen)
• fifteen = a . xv
• a = 15/15 = 1

Jadi fungsi kuadratnya adalah:

• y = 1 (xii
  + 8x + 15)
• y = 102
  + 8x + xv

Jadi soal ini jawabannya C.

---

Contoh soal 7

Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2x²
+ 2x – 4

B. y = 2x²
– 2x – iv

C. y = xⁱⁱ
+ 10 – iv
D. y = xⁱⁱ
– 2x – 4

East. y = 10²
– x – 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:

• x1
  = -1
• x2
  = two
• y = -4

Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:

• y = a (x – (-1)) (x – two)
• y = a (x + 1) (x – 2)
• y = a (x2
  – x – 2)

Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:

• -four = a (0two
  – 0 – 2)
• -4 = a . -2
• a = -iv/-2 = 2

Sehingga persamaan kuadratnya adalah:

• y = ii (x2
  – 10 – 2)
• y = 2x2
  – 2x – 4

Soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal eight

Perhatikan gambar dibawah ini.

Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(10) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…
A. a < 0, b < 0, dan c < 0

B. a < 0, b > 0 dan c > 0

C. a < 0, b > 0 dan c < 0

D. a > 0, b < 0 dan c > 0

E. a > 0, b < 0 dan c < 0

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:

• y = a (10 – (-iii)) (x – (-1))
• y = a (x + 3) (x + ane)
• y = a (xii
  + 4x + 3)
• -3 = a (0two
  + four . 0 + iii)
• -three = a . 3
• a = -3/3 = -i
• y = -i (x2
  + 4x + iii)
• y = -ten2
  – 4x – iii

Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -i, b = -4 dan c = -three atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.

---

Contoh soal 9

Perhatikan gambar dibawah ini.

Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…
A. (-1, 0) dan (-8, 0)
B. (-1, 0) dan (viii, 0)

C. (1, 0) dan (-eight, 0)

D. (ane, 0) dan (8, 0)

Due east. (two, 0) dan (5, 0)

Pembahasan / penyelesaian soal

Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:

• titik balik xp = 9/2
• titik balik yp = -49/four
• y = viii

10p
=

-b

2 . a

=

ix

two

Sehingga kita dapat a =

2

2

= 1 dan b = -9.

yp
=

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a

=

-49

four

b2
– 4 . a . c = 49

9two
– 4 . 1 . c = 49

81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32

c =

32

4

= 8

Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:

y = axtwo
+ bx + c

y = tenp
– 9x + c

Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:

xp
– 9x + 8 = 0

(x1
– eight) (x2
– 1) = 0

x1
= 8 dan 10two
= i

Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (one,0). Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal x

Diketahui f(ten) = x²
+ 4x – v, maka nilai minimumnya adalah …
A. -17
B. -9
C. -5
D. -two
East. 4

Pembahasan / penyelesaian soal

Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.

→ y = –

D

4a

→ y = –

b²
– 4ac

4a

→ y = –

fourⁱⁱ
– 4. ane . -five

4. i

= -9

Kemudian subtitusi y ke f(x) = ten^two
+ 4x – five sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

• -9 = x2 + 4x – five
• 0 = x2 + 4x – 5 + 9
• x²
  + 4x + four = 0
• (10 + 2)^two
  = 0
• ten = -2

Subtitusi ten = -two ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.

• f(x) = x²
  + 4x – 5
• f(-two) = (-two)²
  + 4 . (-2) – 5
• f(-2) = four – 8 – 5 = -nine

Jadi soal ini jawabannya B.

---

Contoh soal 11

Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(10) = -ten²
+ 2x + fifteen adalah …
A. -32
B. -16
C. 1
D. sixteen
E. 32

Pembahasan / penyelesaian soal

Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.

→ y = –

D

4a

→ y = –

b²
– 4ac

4a

→ y = –

two²
– 4. -1 . 15

4. -ane

→ y =

64

4

= 16

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 12

Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t^two. Tinggi maksimum peluru adalah …
A. 925 thousand
B. 1.015 grand
C. 1.025 m
D. 1.125 m
E. 1.225 thousand

Pembahasan / penyelesaian soal

→ y = –

D

4a

→ y = –

bⁱⁱ
– 4ac

4a

→ y = –

(150)ⁱⁱ
– four. -i . 0

4. -5

→ y =

22500

20

= one.125 one thousand

Soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 13

Diketahui jumlah ii bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…
A. 72

B. 144

C. 360

D. ane.296

E. 5.184

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu ten dan y sehingga kita peroleh:

• x + y = 72
• y = 72 – x
• x . y = ten (72 – x) = 72x – x2
• M = -x2
  + 72x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:

Jadi soal ini jawabannya D.

1000 =

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a

Thousand =

-(722
– four . -1 . 0)

four . -1

=

5184

4

= 1296

Jadi soal ini jawabannya D.

---

Contoh soal 14

Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…
A. fifteen dan -15

B. 20 dan -ten

C. 25 dan -5

D. forty dan ten

Eastward. 50 dan 20

Pembahasan / penyelesaian soal

Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:

• x – y = xxx
• y = ten – 30
• K = ten . y = x . (ten – 30) = x2
  – 30x

Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = ane, b = -30 dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.

K =

-(b2
– 4 . a . c)

four . a

Thou =

-(-302
– iv . 1 . 0)

4 . i

=

-900

4

= – 225

Grand = -225 dan One thousand = x2
– 30x maka kita dapat:

x2
– 30 x = -225

tentwo
– 30x + 225 = 0

(x – 15)two
= 0

10 = 15

Kita subtitusi x = 15 ke persamaan y = x – 30 maka kita peroleh y = 15 – 30 = -fifteen. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah 15 dan -15.

Jadi soal ini jawabannya A.

---

Contoh soal 15

Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…
A. 64 cm dan 1 cm

B. 32 cm dan two cm

C. 32 cm dan 4 cm

D. xvi cm dan 16 cm

Eastward. 16 cm dan viii cm

Pembahasan / penyelesaian soal

Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:

• 2 (P + L) = 64
• P + L = 32
• P = 32 – Fifty
• Luas = P . Fifty = (32 – 50) . L = 32 L – Lii
• Luas = Ltwo
  – 32L

Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:

Luas =

-(b2
– 4 . a . c)

4 . a

Luas =

-(-322
– iv . 1 . 0)

4 . 1

=

1024

4

= – 256

Luas = -256 dan Luas = L2
– 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:

• L2
  – 32L = – 256
• L2
  – 32L + 256 = 0
• (L – xvi)2
  = 0
• L = 16

50 = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – Fifty = 32 – sixteen = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = 16 cm dan L = 16 cm. Jadi soal ini jawabannya D.