Contoh Soal Dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri Kelas 12

Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Masih ingat dengan materi turunan fungsi yang pernah kalian pelajari saat kelas 11 kemarin?

Nah, masih dalam pokok bahasan turunan, kali ini kita akan belajar mengenai

turunan pada fungsi trigonometri
. Jadi, fungsinya mencakup perbandingan trigonometri seperti :

sinus
,

cosinus
,

tangen
,
cosecan
,

secan
, dan

cotangen
.

Buat sobat pintar yang lupa apa itu turunan, akan sedikit dijelaskan

konsep umum dari turunan suatu fungsi
.

Definisi tersebut dapat digunakan dalam fungsi trigonometri, baik itu fungsi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen yang akan dijabarkan sebagai berikut.

TURUNAN FUNGSI SINUS

Turunan fungsi sinus dapat ditentukan dengan cara berikut:

TURUNAN FUNGSI COSINUS

Turunan fungsi cosinus dapat ditentukan dengan cara berikut:

TURUNAN FUNGSI TANGEN

TURUNAN FUNGSI COSECAN



Turunan fungsi cosec dapat ditentukan dengan cara berikut;

TURUNAN FUNGSI SECAN



Turunan fungsi secan dapat ditentukan dengan cara berikut;

TURUNAN FUNGSI COTANGEN



Turunan fungsi cotan dapat ditentukan dengan cara berikut;

Berdasarkan penjabaran di atas,

turunan dasar dari fungsi trigonometri
, yaitu:

Turunan Fungsi Trigonometri Untuk Sudut ax + b

Oh iya Sobat, Dalam menentukan turunan fungsi trigonometri untuk sudut ax + b dibutuhkan

aturan rantai
.

Apakah Sobat Pintar masih ingat dengan aturan rantai pada turunan suatu fungsi?

Nah, kalau Sobat belum ingat, akan sedikit dijelaskan mengenai aturan rantai pada turunan suatu fungsi sebagai berikut.

Jika y dinyatakan dalam u, dan u dinyatakan dalam x, maka turunan y terhadap x dapat dinyatakan:

Nah, sekarang akan kita gunakan
aturan rantai
tersebut untuk menentukan turunan fungsi trigonometri pada sudut ax + b.

Aturan




yang sama juga berlaku
pada fungsi sinus,
cosinus
,

tangen
,

cotangen
,
secan
, dan

cosecan

yang ditunjukkan pada tabel berikut

Turunan Kedua

Jika f fungsi yang terturunkan, maka turunannya f’ juga berupa fungsi, sehingga f’ boleh jadi mempunyai turunan tersendiri, yang dinyatakan oleh (f’)’ = f”. Fungsi f” yang baru ini disebut

turunan kedua

dari f karena dia berupa turunan dari turunan f.

Contoh:

1. Turunan kedua dari y = x cos x adalah….
Penyelesaian:

2. Turunan kedua dari y = (cos)²x adalah….
Penyelesaian:

Laju Yang Berkaitan

Banyak

contoh dari laju sesaat dalam kehidupan sehari-hari
, misalnya laju air mengalir ke dalam ember, laju membesarnya luas pencemaran minyak, laju bertambahnya nilai kapling tanah, dan lain-lain.

Strategi untuk pemecahan masalah khususnya mengenai laju yang berkaitan, adalah:
1. Baca masalah secara seksama.
2. Gambarkan diagram jika mungkin.
3. Perkenalkan notasi. Berikan lambing kepada semua besaran yang merupakan fungsi waktu.
4. Nyatakan informasi yang diketahui dan laju yang diperlukan dalam bentuk turunan.
5. Tuliskan persamaan yang mengaitkan beragam besaran dari masalah tersebut. Jika perlu, gunakan geometri untuk menghilangkan satu peubah melalui substitusi.
6. Gunakan aturan rantai untuk menurunkan kedua ruas persamaan terhadap t.
7. Substitusikan informasi yang diketahui ke dalam persamaan yang dihasilkan dan pecahkan untuk laju yang tidak diketahui tersebut.

Contoh:

Seseorang berjalan menurut tapak lurus pada kecepatan 4 meter/detik. Lampu pencari terletak di tanah sejauh 20 meter dari tapak dan tetap dipusatkan pada orang itu. Pada laju berapa lampu pencari berputar jika orang itu berada 15 meter dari titik pada tapak yang terdekat ke lampu pencari?

Penyelesaian:

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Turunan dari y = sin x + cos x adalah ….

A. 2 sin x

B. 2 cos x

C. sin x – cos x

D. cos x – sin x

E. 0

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Jika f(x) = tan(3x²
+ x – 1), nilai dari f’(x) sama dengan ….

A. (6x+1) sec²(3x²
+ x – 1)

B. (6x – 1) sec²(3x²
+ x – 1)

C. (6x) sec²(3x²
+ x – 1)

D. sec²(3x²
+ x – 1)

E. sec²(6x+1)

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Turunan dari xy – cos xy = 1 adalah ….

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 6

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 7

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A.

B.

C.

D.

E.

Persamaan Garis Singgung Suatu Kurva

^{Sumber : mathcyber1997.com}

Hubungan turunan dengan kurva fungsi trigonometri hampir sama dengan

aplikasi turunan dalam fungsi aljabar

lho, Sobat!

Kalian sudah tahu kurva dari fungsi trigonometri, kan?

Nah, berdasarkan kurva-kurva trigonometri, kita bisa mencari tahu

persamaan garis singgung
,

nilai maksimum dan minimum
,

titik belok
,

selang kemonotonan
, serta

selang kecekungan
.

Langsung kita bahas aja yuk!

PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

Sobat Pintar masih ingat cara mencari persamaan garis singgung dari sebuah kurva?

Yap! Kita membutuhkan

gradien

serta sebuah

titik singgung

pada kurva tersebut

untuk mencari persamaan garis singgungnya
.

Nah, dalam menentukan gradien dari persamaan garis singgung, kita bisa memanfaatkan aplikasi turunan, Sobat.

Masih ingat tidak ya?

Jadi, gradien garis singgung kurva


y = f(x) di titik (x

₁

, y

₁

) adalah m = f’(x

₁

)

.

Sehingga persamaan garis singgungnyaa adalah y – y₁
= m (x – x₁).

Pada fungsi trigonometri, konsep untuk mencari gradien dari kurva trigonometri juga sama, yaitu dengan memanfaatkan aplikasi turunan fungsi trigonometri.

Titik Stasioner Fungsi Trigonometri

TITIK STASIONER

Selanjutnya, aplikasi turunan fungsi trigonometri pada titik stasioner.

Titik stasioner (titik belok/titik balik)

merupakan suatu titik pada kurva sehingga

gradien

pada titik tersebut

bernilai nol
.

Jenis-jenis dari titik stasioner dapat ditentukan dengan memperhatikan

tanda pada f’(x)
, diantaranya:

Titik Balik Minimum

Syarat dari titik balik minimum, yaitu:

• f’(x) bernilai negatif jika x < a
• f’(x)  = 0  jika x = a
• f’(x) benilai positif jika x > a

Tanda pada f’(x) berubah dari
negatif
ke
nol, kemudian ke
positif.

Perhatikan garis bilangan berikut!

Titik Balik Maksimum

Syarat dari titik balik maksimum, yaitu:

• f’(x) bernilai positif jika x < a
• f’(x)  = 0  jika x = a
• f’(x) benilai negatif jika x > a

Tanda pada f’(x) berubah dari
positif
ke
nol, kemudian ke
negatif.

Perhatikan garis bilangan berikut!

Titik Belok

Syarat dari titik belok, yaitu:

• f’(x) bernilai positif jika x < a
• f’(x)  = 0  jika x = a
• f’(x) benilai positif jika x > a

Tanda pada f’(x) berubah dari
positif
ke
nol, kemudian ke
positif
lagi

atau

• f’(x) bernilai negatif jika x < a
• f’(x)  = 0  jika x = a
• f’(x) benilai negatiff jika x > a

Tanda pada f’(x) berubah dari
negatif
ke
nol, kemudian ke
negatif
lagi

Perhatikan garis bilangan berikut!

Nilai Maksimum dan Minimum fungsi y = A sin x + B cos x

NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM FUNGSI y = A sin x + B cos x

Nilai maksimum dan minimum dari kurva y = A sin x + B cos x dapat diperoleh apabila

mencapai titik ekstrem
.

Dalam aplikasi turunan, titik ekstrem dari suatu kurva dapat ditentukan dengan

turunan pertama kurva bernilai nol

(y’ = 0).

Sehingga diperoleh :

Karena nilai tangen bernilai positif, maka x terletak pada kuadran I atau III.

Sehingga terdapat dua kemungkinan, yaitu : A dan B bernilai positif atau A dan B bernilai negatif.

Pada Kuadran I

Pada Kuadran III

Selang Kemonotonan Fungsi Trigonometri

SELANG KEMONOTONAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Selang kemonotonan suatu fungsi trigonometri terbagi menjadi dua, yaitu

grafik fungsi naik

dan

grafik fungsi turun
.

Dalam hal ini, kenaikan atau penurunan grafik suatu fungsi dapat ditentukan dengan

turunan pertama kurva tersebut
.

Secara sistematis dapat dituliskan:

1. Fungsi f(x) dikatakan naik jika f’(x) > 0
2. Fungsi f(x) dikatakan turun jika f’(x) < 0

Selang Kecekungan Fungsi Trigonometri

SELANG KECEKUNGAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Selang kecekungan fungsi trigonometri terbagi menjadi dua, yaitu grafik fungsi

cekung ke atas

atau

cekung ke bawah
.

Nah, dalam menentukan kecekungan dari suatu fungsi dapat memanfaatkan

turunan kedua

dari kurva tersebut.

Jika suatu fungsi trigonometri mempunyai turunan kedua pada selang (a,b), berlaku aturan berikut:

1. Grafik fungsi f(x) cekung ke atas jika f’’(x) > 0, x berada pada selang (a,b)
2. Grafik fungsi f(x) cekung ke bawah jika f’’(x) < 0, x berada pada selang (a,b)

Latihan 1

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 2

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

A. (90^o, 2)

B. (90^o, -2)

C. (180^o, 2)

D. (180^o, -2)

E. (270^o, 2)

Latihan 3

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Nilai minimum dari fungsi y = 5 cos x – 4 sin x adalah ….

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 4

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Pada grafik fungsi f(x) = 7 sin (x – 15), fungsi tersebut akan naik pada salah satu interval berikut, yaitu ….

A. 0^o
< x < 45^o

B. 0^o
< x < 90^o

C. 45^o
< x < 90^o

D. 0^o
< x < 105^o

E. 105^o
< x < 285^o

Latihan 5

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Grafik suatu fungsi f(x) = 1 – sin x, akan cekung ke atas pada saat interval ….

A. 0^o
< x < 90^o

B. 45^o
< x < 180^o

C. 0^o
< x < 180^o

D. 90^o
< x < 270^o

E. 180^o
< x < 360^o

Latihan 6

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Grafik fungsi f(x) = cos 2x akan naik pada interval….

A.

B.

C.

D.

E.

Latihan 7

Kerjakan soal berikut dengan tepat!

Grafik fungsi f(x) = cos² ( x + 10º ) pada interval 0º < x < 90º adalah….

A. Turun

B. Naik

C. Turun – naik – turun

D. Turun kemudian naik

E. Naik kemudian turun