Kumpulan Soal dan Pembahasan Identitas Trigonometri | www.matematrick.com

Selamat datang para pecinta matematika di matematrick.com. Kali ini akan saya bagikan contoh soal identitas trigonometri beserta pembahasannya.

Sederhanakan bentuk trigonometri (ane + cot
ⁱⁱ
β) / (cot β . sec
²
β).

Pembahasan

Dari pecahan (1 + cot
ⁱⁱ
β) / (cot β . sec
²
β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.

one + cot
²
β = cosec
²
β

⇒ 1 + cot
²
β = 1/sin
²
β

cot β . sec
²
β = (cos β/ sinβ) . sec
²
β

⇒ cot β . sec
²
β = (cos β/ sin β).(i/cos
²
β)

⇒ cot β . sec
²
β = cos β / sin β.cos
²
β

Setelah digabung kembali diperoleh :

(1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (one/sin² β) / (cos β / sinβ.cos² β)
⇒ (1 + cotⁱⁱ β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) . (sin β.cos² β / cos β)
⇒ (1 + cot
²
β) / (cot β . sec
ⁱⁱ
β) = sin β.cos
²
β / sin
^two
β.cos β

⇒ (i + cot
²
β) / (cot β . sec
²
β) = cos β / sin β

⇒ (1 + cot
²
β) / (cot β . sec
ⁱⁱ
β) = cot β

Jadi, (1 + cot
^two
β) / (cot β . sec
²
β) = cot β.
Tentukan nilai dari (sin α – cos α)
²
+ 2 sin α cos α.

Pembahasan

Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.

(sin α – cos α)
²
= sin
ⁱⁱ
α – 2 sin α. cos α + cos
²
α

⇒ (sidue north α – cos α)² = sin² α + cos^two α – ii sin α. cos α
⇒ (sin α – cos α)ⁱⁱ = 1 – two sin
α. cos α

Selanjutnya :
(sin α – cos α)² + 2 sin α cos α = one – two sin α. cos α + 2 sin α cos α
⇒ (sin α – cos α)^two + two sin α cos α = ane
Jadi, (sin α – cos α)^two + two sin α cos α = i.
Buktikan bahwa sec^iv α – sec² α = tan⁴ α + tan^two α.

Pembahasan

sec^four α – sec² α = tan⁴ α + tanⁱⁱ α
⇒ secⁱⁱ α (sec² α – 1) = tan² α (tan² α + ane)
⇒ secⁱⁱ α (tanⁱⁱ α) = tan² α (sec² α)
⇒ sec^two α . tan² α = sec^two α . tanⁱⁱ α
Jadi, sec⁴ α – secⁱⁱ α = tan⁴ α + tan² α = sec^two α . tan² α.
Terbukti.
Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
a. ane – cos^two β
b. sin^two α – cos² α
c. tan² α – 1
d. sinⁱⁱ α – 2 sin α cos α + cos² α

Pembahasan
1. 1 – cosⁱⁱ β
  Dari identitas sin² β + cos² β = 1, maka diperoleh :
  ⇒ ane – cosⁱⁱ β = sin² β
  Jadi, one – cos² β = sin² β.
2. sin^two α – cos² α
  Dari identitas sin² α + cos² α = 1, maka sin² α = i – cosⁱⁱ α.
  ⇒ sin^two α – cos² α = 1 – cos² α – cos² α
  ⇒ sinⁱⁱ α – cos² α = 1 – 2 cos² α
  Karena 2 cosⁱⁱ α – ane = cos 2α, maka i – ii cos² α = – cos 2α.
  ⇒ sin^two α – cos² α = -cos 2α
  Jadi, sin² α – cos² α = -cos 2α.
3. tan^two α – one
  Dari identitas 1 + tan² α = sec² α, maka tan² α = secⁱⁱ α – 1
  ⇒ tan² α – i = sec² α – 1 – ane
  ⇒ tan² α – ane = sec² α – 2
4. sin^two α – 2 sin α cos α + cos² α = sin² α + cos² α – ii sin α cos α
  ⇒ sin² α – two sin α cos α + cos² α = 1 – two sin α cos α
  
  ⇒ sin² α – 2 sin α cos α + cos² α = 1 – sin 2α
  Jadi, sinⁱⁱ α – 2 sin α cos α + cosⁱⁱ α = 1 – sin 2α .
Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.

a. 1/iii sin² α + i/3 cos² α = 1/3
b. 3 cos² α – 2 = i – 3 sinⁱⁱ α
c. 3 + five sin² α = 8 – v cos² α

Pembahasan
1. 1/3 sinⁱⁱ α + one/3 cos² α = 1/three
  
  ⇒ 1/3 (sin² α + cos² α) = 1/3
  ⇒ 1/3 (1) = i/3
  ⇒ 1/3 = 1/3
  Terbukti.
2. 3 cos² α – 2 = 1 – 3 sin² α
  
  Ingat bahwa sinⁱⁱ α + cosⁱⁱ α = i, maka 3 sin² α + iii cos² α = 3.
  Dari 3 sin² α + 3 cosⁱⁱ α = 3, maka 3 cos² α = iii – 3 sin² α.
  
  ⇒ three cos² α – ii = i – 3 sin² α
  ⇒ 3 – three sin² α – 2 = 1 – 3 sin² α
  ⇒ 1 – 3 sin² α = 1 – iii sin² α.
  Terbukti.
3. iii + 5 sin^two α = viii – 5 cosⁱⁱ α
  Dari 5 sin² α + 5 cos² α = 5, maka 5 sin² α = 5 – 5 cos² α.
  ⇒ 3 + five sin² α = viii – v cos² α
  ⇒ 3 + 5 – 5 cos² α = viii – five cosⁱⁱ α
  ⇒ 8 – 5 cos² α = 8 – 5 cos² α.
  Terbukti.

Contoh soal Identitas trigonometri dan Cara Penyelesaiannya

Contoh ane: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa sin
θ
cot
θ
= cos
θ
.

Pembahasan
Untuk membuktikan identitas ini, kita ubah bentuk ruas kiri menjadi bentuk ruas kanan.

Pada contoh ini, kita mengubah bentuk pada ruas kiri menjadi bentuk yang ada pada ruas kanan. Ingat, kita membuktikan identitas dengan mengubah bentuk yang satu menjadi bentuk yang lain.

Contoh ii: Membuktikan Identitas Trigonometri

Buktikan bahwa tan
x
+ cos
10
= sin
ten
(sec
10
+ cot
x
).

Pembahasan
Kita dapat memulainya dengan menerapkan sifat distributif pada ruas kanan untuk mengalikan suku-suku yang ada dalam kurung dengan sin
x
. Kemudian kita dapat mengubah ruas kanan menjadi bentuk yang ekuivalen serta memuat tan
ten
dan cos
ten
.

Contoh 2 Pembahasan

Dalam kasus ini, kita mengubah ruas kanan menjadi ruas kiri.

Sebelum kita lanjut ke contoh-contoh selanjutnya, mari kita daftar beberapa petunjuk yang mungkin berguna dalam membuktikan identitas-identitas trigonometri.

Baca : Penyelesaian Sistem Persamaan 3x 2y 12 Dan 5x Y 7

Petunjuk untuk Membuktikan Identitas

Biasanya akan lebih mudah jika kita memanipulasi ruas persamaan yang lebih rumit terlebih dahulu.
Carilah bentuk yang dapat disubstitusi dengan bentuk trigonometri yang ada dalam identitas trigonometri, sehingga didapatkan bentuk yang lebih sederhana.
Perhatikan operasi-operasi aljabar, seperti penjumlahan pecahan, sifat distributif, atau pemfaktoran, yang mungkin dapat menyederhanakan ruas yang kita manipulasi, atau minimal dapat membimbing kita kepada bentuk yang dapat disederhanakan.
Jika kita tidak tahu apa yang harus dilakukan, ubahlah semua bentuk trigonometri menjadi bentuk sinus dan cosinus. Mungkin hal tersebut bisa membantu.
Selalu perhatikan ruas persamaan yang tidak kita manipulasi untuk memastikan langkah-langkah yang kita lakukan menuju bentuk dalam ruas tersebut.

KlikBelajar.com Edukasi, Belajar dan Informasi

Contoh Soal Dan Pembahasan Identitas Trigonometri

Contoh soal Identitas trigonometri dan Cara Penyelesaiannya