Contoh Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Definisi

Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu sistem persamaan linear dengan tiga variabel. Bentuk umum-nya adalah sebagai berikut.

$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z & = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z & = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z & = d_3 \end{cases}$

dengan,

$a_1, a_2, a_3, b_1, b_2, b_3, c_1, c_2, c_3, d_1, d_2, d_3$ merupakan bilangan real

$a_1, b_1, c_1$ tidak sekaligus ketiganya nol

$a_2, b_2, c_2$ tidak sekaligus ketiganya nol

$a_3, b_3, c_3$ tidak sekaligus ketiganya nol

keterangan:

$x,y,z$ adalah variabel

$a_1, a_2, a_3$ adalah koefisien variabel $x$

$b_1, b_2, b_3$ adalah koefisien variabel $y$

$c_1, c_2, c_3$ adalah koefisien variabel $z$

$d_1, d_2, d_3$ adalah konstanta persamaan

Cara Penyelesaian SPLTV

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, diantaranya yaitu metode eliminasi, metode substitusi, metode gabungan (eliminasi-substitusi), dan metode determinan.

Namun untuk bahasan kali ini, akan kita pelajari metode penyelesaian SPLTV dengan cara gabungan (eliminasi-subtitusi) saja. Berikut ini contoh soalnya.

Metode Gabungan (Eliminasi-Substitusi)

$\begin{cases} 2x + 3y -z & =11 && (\cdots 1) \\ 2x -2y + 2z & =4 && (\cdots 2) \\ -2x + y + z & = -3 && (\cdots 3) \end{cases}$

Eliminasi $x$ dari $(1)$ dan $(2)$

$\begin{aligned} \begin{aligned} 2x + 3y -z & = 11 \\ 2x -2y + 2z & = 4  ~~~~~- \end{aligned} \\ \hline \end{aligned}$

$~~~~~~~~~~\color{black}{5y-3z = 7~~~~(\cdots 4)}$

Eliminasi $x$ dari $(1)$ dan $(3)$

Subtitusi $y=2$ ke $(4)$

$ 5y-3z = 7 $

$ \Leftrightarrow  5(2)-3z = 7$

$ \Leftrightarrow  5(2)-3z = 7$

$ \Leftrightarrow  -3z = -3$

$ \Leftrightarrow  z = 1$

Subtitusi $y=2$ dan $z = 1$ ke $(1)$

$2x + 3y -z  =11$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $ \left \{ (3,2,1)  \right \}$

Misal, $\dfrac{1}{x}=a, \dfrac{1}{y}=b, \dfrac{1}{z}=c$

Sehingga bentuk persamaannya menjadi berikut

$\begin{cases} a -2b +3c & = -11 && (\cdots 1) \\ a +5b + 6c & = 12 && (\cdots 2) \\ 3a + 4b +2c & = 45 && (\cdots 3) \end{cases}$

Eliminasi $a$ dari $(1)$ dan $(2)$

Eliminasi $a$ dari $(1)$ dan $(3)$

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} a -2b +3c & = -11 \\ 3a + 4b +2c & = 45 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 3 \\ \times 1 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~3a -6b +9c & = -33 \\~3a + 4b +2c & = 45 \end{aligned} \\ & \rule{5.5 cm}{0.4pt} – \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{-10b+7c = -88~~~~(\cdots 5)} \end{aligned} \end{aligned}$

Eliminasi $c$ dari $(4)$ dan $(5)$

$\begin{aligned} \! \begin{aligned} -7b-3c &= -23 \\ -10b+7c &= -88 \end{aligned} \left| \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 3 \end{aligned} \right| & \! \begin{aligned}~-49b-21c &= -161 \\~-30b+21c &= -264 \end{aligned} \\ & \rule{5.5 cm}{0.4pt} + \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{-79b = -375 } \end{aligned} \\ & \! \begin{aligned} \color{black}{~~~~~~~b = 5} \end{aligned} \end{aligned}$

Substitusi $b=5$ ke $(4)$

$-7b-3c = -23$

Substitusi $b=5$ dan $c=-4$ ke $(1)$

$a -2b +3c  = -11$

$ \Leftrightarrow  a -2(5) +3(-4)  = -11$

$ \Leftrightarrow  a -10 -12  = -11$

$ \Leftrightarrow  a  = 11$

Maka diperoleh,

$\dfrac{1}{x}=11, \dfrac{1}{y}=5, \dfrac{1}{z}=-4$

Jadi,

$\begin{aligned} x + y +z & = \dfrac{1}{11} + \dfrac{1}{5}- \dfrac{1}{4}  \\  & = \frac{9}{220} \end{aligned}$

SPLTV Bentuk Soal Cerita

Berdasarkan informasi pada soal diperoleh informasi berikut.

$\bullet$ Rata-rata dari ketiga bilangan itu sama dengan $17$. Secara matematis, ditulis

$\frac{a+b+c}{3}=17 \Leftrightarrow a+b+c=51 ~~~(\cdots 1)$

$\bullet$ Bilangan kedua ditambah $23$ sama dengan jumlah bilangan lainnya. Secara matematis, ditulis

$23+b=a+c \Leftrightarrow a-b+c=23 ~~~(\cdots 2)$

$\bullet$ Bilangan ketiga sama dengan jumlah bilangan lain dikurang $7$. Secara matematis, ditulis

$c=a+b-7 \Leftrightarrow a+b-c=7 ~~~(\cdots 3)$