KlikBelajar.com Edukasi, Belajar dan Informasi
KlikBelajar.com – Cara Menentukan Titik Potong Sumbu X
Postingan ini membahas contoh soal fungsi kuadrat dan pembahasannya + jawabannya. Lalu apa itu fungsi kuadrat ?. Suatu fungsi f pada himpunan bilangan real (R) yang ditentukan oleh f(x) = ax2 + bx + c dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat. Ada dua cara menggambar grafik fungsi kuadrat yaitu dengan menggunakan tabel koordinat bebarapa titik dan menggunakan titik-titik penting yang dilalui grafik. Titik-titik penting tersebut adalah titik potong grafik dengan sumbu X, titik potong grafik dengan sumbu Y dan titik balik.
Berdasarkan nilai diskriminannya (D = b2 – 4ac), grafik fungsi kuadrat (y = ax2 + bx + c) ) terdiri dari 6 kemungkinan yaitu sebagai berikut.
- Jika a > 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. Jenis titik baliknya minimum.
- Jika a > 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di satu titik atau menyinggung sumbu X. Jenis titik baliknya minimum.
- Jika a > 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit positif). Jenis titik baliknya minimum.
- Jika a < 0 dan D > 0, grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X di dua titik berbeda. Jenis titik baliknya maksimum.
- Jika a < 0 dan D = 0, grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu X dan titik baliknya maksimum.
- Jika a < 0 dan D < 0, grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu X (definit negatif) dan titik baliknya maksimum.
Jenis grafik fungsi kuadrat
Rumus yang berlaku pada fungsi kuadrat sebagai berikut.
Daftar Isi:
Contoh soal fungsi kuadrat
Contoh soal 1
Gambarkanlah grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 + 4x – 21 pada himpunan bilangan nyata.
Pembahasan / penyelesaian soal
Cara menggambar
grafik fungsi kuadrat
sebagai berikut:
Menentukan titik potong sumbu x dengan cara pemfaktoran:
x2
+ 4x – 21 = 0
(x1
+ 7) (x2
– 3) = 0
x1
= -7 dam x2
= 3 Titik potong pada sumbu X adalah A(-7 ; 0) dan B ((3 ; 0) Menentukan titik potong sumbu Y dengan subtitusi x = 0 atau f(0)
f(x) = x2
+ 4x – 21
f(0) = 02
+ 4 . 0 – 21 = -21 Jadi titik potong sumbu Y adalah (0 ; -21)
Menentukan titik balik (xp
, yp) dengan rumus dibawah ini:
xp
=
=
= – 2.
yp
=
=
yp
=
= – 25.
Jadi titik balik (-2 ; -25)
Dengan demikian gambar grafik kuadrat soal nomor 1 sebagai berikut:
Grafik fungsi kuadrat nomor 1
Contoh soal 2
Selidikilah apakah grafik fungsi berikut memotong sumbu X, menyinggung sumbu X atau tidak memotong sumbu X.
- y = x2 + 9x + 20
- y = 2×2 – 3x + 1
Pembahasan / penyelesaian soal
- a = 1 dan D = b2 – 4ac = 92 – 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
- a = 2 dan D = b2 – 4ac = -32 – 4 . 2 . 1 = 9 – 8 = 1. Karena a > 0 dan D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu X.
Contoh soal 3
Selidiki apakah fungsi kuadrat dibawah ini tergolong definit positif, definit negatif atau bukan keduanya.
- y = 3×2 – 4x – 2
- y = 4×2 – 3x + 5
Pembahasan / penyelesaian soal
Definit positif jika a > 0 dan D < 0 sedangkan definit negatif jika a < 0 dan D < 0.
- a = 3 dan D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4 . 3 . -2 = 16 + 24 = 40. Karena a > 0 dan D > 0 maka fungsi kuadrat bukan definit positif dan bukan definit negatif (bukan keduanya).
- a = 1 dan D = b2 – 4ac = (-3)2 – 4 . 4 . 5 = 9 – 80 = – 71. Karena a > 0 dan D < 0 maka fungsi kuadrat definit positif.
Contoh soal Fungsi kuadrat pilihan ganda (PG)
Contoh soal 1
Persamaan sumbu simetri dari f(x) = 6 – 5x – x2 adalah …A. x = -2B. x = 2
C. x = -2
D. x = 3
E. x = 5
Pembahasan / penyelesaian soal
Diketahui:
Cara menjawab soal ini yaitu dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri yaitu sebagai berikut.
→ Pers. sumbu simetri = –
→ Pers. sumbu simetri = – = -2
Soal ini jawabannya C.
Contoh soal 2
Grafik fungsi f(x) = x2 + 4x – 30 simetris terhadap garis x = a. Nilai a = …A. -4B. -2C. -1D. 2
E. 4
Pembahasan / penyelesaian soal
Dengan menggunakan rumus persamaan sumbu simetri diperoleh hasil sebagai berikut.
→ x = –
→ a = – = -2
Soal ini jawabannya B.
Contoh soal 3
Nilai m agar grafik fungsi y = (m – 1)x2 – 2mx + (m – 3) selalu berada dibawah sumbu X (definit negatif) adalah …A. m = 1B. m > 1C. m < 1D. m > 3/4
E. m < 3/4
Pembahasan / penyelesaian soal
Diketahui:
- a = m – 1
- b = -2m
- c = m – 3
Syarat definit negatif adalah a < 0 dan D < 0.
- a < 0
- m – 1 < 0
- m < 1
- D < 0
- b2 – 4ac < 0
- (-2m)2 – 4 (m – 1) (m – 3) < 0
- 4m2 – 4 (m2 – 4m + 3) < 0
- 4m2 – 4m2 + 16m – 12 < 0
- 16m – 12 < 0
- 16m < 12
- m <
- m < 3/4
Syarat 1 dan 2 terpenuhi sehingga kita tentukan irisannya yaitu sebagai berikut.
Jadi nilai m < 3/4. Soal ini jawabannya E.
Contoh soal 4
Koordinat titik balik grafik y = x2 – 6x + 8 adalah …A. (3, -1)B. (-3, -1)C. (4, 2)D. (6, 8)
E. (-6, 8)
Pembahasan / penyelesaian soal
Diketahui:
Dengan menggunakan rumus koordinat titik balik diperoleh hasil sebagai berikut.
→ x = –
→ x = – = 3
→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = – = -1
Jadi koordinat titik balik (3, -1). Soal ini jawabannya A.
Contoh soal 5
Koordinat titik balik fungsi kuadrat f(x) = x2 – 2x – 3 adalah …A. (1, 4)B. (-1, 4)C. (4, 1)D. (1, -4)
E. (-1, -4)
Pembahasan / penyelesaian soal
→ x = –
→ x = – = 1
→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = – = -4
Jadi titik baliknya (1, -4). Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 6
Perhatikan gambar fungsi kuadrat dibawah ini.
Contoh soal 6 fungsi kuadrat
Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = x2 – 2x + 15
B. y = x2 – 2x – 15
C. y = x2 + 2x + 15
D. y = x2 – 8x – 15
E. y = x2 – 8x + 15
Pembahasan / penyelesaian soal
Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:
Fungsi kuadrat dibentuk dengan cara sebagai berikut:
- y = a (x – x
1
) (x – x
2
)
- y = a (x – (-5)) (x – (-3))
- y = a (x + 5) (x + 3)
- y = a (x
2
+ 3x + 5 x + 15)
- y = a (x
2
+ 8x + 15)
Selanjutnya kita tentukan nilai a dengan subtitusi nilai x = 0 dan y = 15 sehingga didapat:
- 15 = a (0
2
+ 8 . 0 + 15)
- 15 = a . 15
- a = 15/15 = 1
Jadi fungsi kuadratnya adalah:
- y = 1 (x
2
+ 8x + 15)
- y = x
2
+ 8x + 15
Jadi soal ini jawabannya C.
Contoh soal 7
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 7
Persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah…
A. y = 2×2 + 2x – 4
B. y = 2×2 – 2x – 4
C. y = x2 + x – 4
D. y = x2 – 2x – 4
E. y = x2 – x – 4
Pembahasan / penyelesaian soal
Berdasarkan grafik diatas kita ketahui:
Maka persamaan fungsi kuadrat sebagai berikut:
- y = a (x – (-1)) (x – 2)
- y = a (x + 1) (x – 2)
- y = a (x
2
– x – 2)
Menentukan nilai a dengan cara subtitusi x = 0 dan y = -4 sehingga didapat hasil dibawah ini:
- -4 = a (0
2
– 0 – 2)
- -4 = a . -2
- a = -4/-2 = 2
Sehingga persamaan kuadratnya adalah:
- y = 2 (x
2
– x – 2)
- y = 2x
2
– 2x – 4
Soal ini jawabannya B.
Contoh soal 8
Perhatikan gambar dibawah ini.
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 8
Jika fungsi kuadrat grafik diatas dinyatakan oleh f(x) = ax2 + bx + c maka pernyataan dibawah ini yang benar adalah…A. a < 0, b < 0, dan c < 0 B. a < 0, b > 0 dan c > 0 C. a < 0, b > 0 dan c < 0 D. a > 0, b < 0 dan c > 0
E. a > 0, b < 0 dan c < 0
Pembahasan / penyelesaian soal
Untuk menjawab soal ini kita bentuk terlebih dahulu persamaan fungsi kuadrat grafik diatas sebagai berikut:
- y = a (x – (-3)) (x – (-1))
- y = a (x + 3) (x + 1)
- y = a (x
2
+ 4x + 3)
- -3 = a (0
2
+ 4 . 0 + 3)
- -3 = a . 3
- a = -3/3 = -1
- y = -1 (x
2
+ 4x + 3)
- y = -x
2
– 4x – 3
Berdasarkan persamaan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = -4 dan c = -3 atau a < 0, b < 0 dan c < 0. Jadi jawaban soal ini adalah A.
Contoh soal 9
Perhatikan gambar dibawah ini.
Contoh soal fungsi kuadrat nomor 9
Koordinat titik potong grafik dengan sumbu X adalah…A. (-1, 0) dan (-8, 0)B. (-1, 0) dan (8, 0) C. (1, 0) dan (-8, 0) D. (1, 0) dan (8, 0)
E. (2, 0) dan (5, 0)
Pembahasan / penyelesaian soal
Berdasarkan grafik fungsi kuadrat diatas kita ketahui:
- titik balik xp = 9/2
- titik balik yp = -49/4
- y = 8
x
p
= =
Sehingga kita dapat a = = 1 dan b = -9.
y
p
= =
b
2
– 4 . a . c = 49
9
2
– 4 . 1 . c = 49 81 – 4c = 49 atau 4c = 81 – 49 = 32
c =
= 8
Jadi persamaan fungsi kuadrat grafik diatas adalah:
y = ax2
+ bx + c
y = x
p
– 9x + c Untuk menentukan titik potong x kita lakukan pemfaktoran sebagai berikut:
xp
– 9x + 8 = 0
(x
1
– 8) (x
2
– 1) = 0
x
1
= 8 dan x
2
= 1
Jadi titik potong sumbu X adalah (8,0) dan (1,0). Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 10
Diketahui f(x) = x2 + 4x – 5, maka nilai minimumnya adalah …A. -17B. -9C. -5D. -2
E. 4
Pembahasan / penyelesaian soal
Tentukan terlebih dahulu titik ekstrem dengan mengunakan rumus sebagai berikut.
→ y = –
→ y = –
→ y = – = -9
Kemudian subtitusi y ke f(x) = x2 + 4x – 5 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.
- -9 = x2 + 4x – 5
- 0 = x2 + 4x – 5 + 9
- x2 + 4x + 4 = 0
- (x + 2)2 = 0
- x = -2
Subtitusi x = -2 ke f(x) sehingga diperoleh nilai minimum sebagai berikut.
- f(x) = x2 + 4x – 5
- f(-2) = (-2)2 + 4 . (-2) – 5
- f(-2) = 4 – 8 – 5 = -9
Jadi soal ini jawabannya B.
Contoh soal 11
Nilai maksimum dari fungsi kuadrat f(x) = -x2 + 2x + 15 adalah …A. -32B. -16C. 1D. 16
E. 32
Pembahasan / penyelesaian soal
Cara menghitung nilia maksimum fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus dibawah ini.
→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = = 16
Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 12
Sebuah peluru ditembakkan vertikal dengan persamaan lintasan h(t) = 150t – 5t2. Tinggi maksimum peluru adalah …A. 925 mB. 1.015 mC. 1.025 mD. 1.125 m
E. 1.225 m
Pembahasan / penyelesaian soal
→ y = –
→ y = –
→ y = –
→ y = = 1.125 m
Soal ini jawabannya D.
Contoh soal 13
Diketahui jumlah 2 bilangan adalah 72. Hasil kali maksimum kedua bilangan adalah…A. 72 B. 144 C. 360 D. 1.296
E. 5.184
Pembahasan / penyelesaian soal
Untuk menjawab soal ini kita lalukan pemisalan 2 bilangan yaitu x dan y sehingga kita peroleh:
- x + y = 72
- y = 72 – x
- x . y = x (72 – x) = 72x – x
2
- K = -x
2
+ 72x
Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = -1, b = 72 dan c = 0. Hasil kali maksimum kita gunakan rumus dibawah ini:
Jadi soal ini jawabannya D.
K =
K = = = 1296
Jadi soal ini jawabannya D.
Contoh soal 14
Dua bilangan selisihnya 30. Agar hasil kalinya minimum maka kedua bilangan tersebut adalah…A. 15 dan -15 B. 20 dan -10 C. 25 dan -5 D. 40 dan 10
E. 50 dan 20
Pembahasan / penyelesaian soal
Kita misalkan kedua bilangan tersebut x dan y maka kita peroleh:
- x – y = 30
- y = x – 30
- K = x . y = x . (x – 30) = x
2
– 30x
Berdasarkan fungsi kuadrat diatas kita ketahui a = 1, b = -30 dan c = 0. Maka untuk menentukan nilai minimum kita gunakan rumus dibawah ini.
K =
K = = = – 225
K = -225 dan K = x2
– 30x maka kita dapat:
x
2
– 30 x = -225
x
2
– 30x + 225 = 0
(x – 15)
2
= 0
x = 15
Kita subtitusi x = 15 ke persamaan y = x – 30 maka kita peroleh y = 15 – 30 = -15. Jadi hasil perkalian minimum jika kedua bilangan tersebut adalah 15 dan -15.
Jadi soal ini jawabannya A.
Contoh soal 15
Diketahui persegipanjang dengan keliling 64 cm. Agar luas persegi panjang maksimum maka besar panjang dan lebarnya adalah…A. 64 cm dan 1 cm B. 32 cm dan 2 cm C. 32 cm dan 4 cm D. 16 cm dan 16 cm
E. 16 cm dan 8 cm
Pembahasan / penyelesaian soal
Untuk menyelesaikan soal ini kita misalkan panjang = P dan lebar = L maka kita peroleh:
- 2 (P + L) = 64
- P + L = 32
- P = 32 – L
- Luas = P . L = (32 – L) . L = 32 L – L
2
- Luas = L
2
– 32L
Dari fungsi kuadrat luas diatas kita ketahui a = 1, b = -32 dan c = 0. Selanjutnya kita menentukan luas maksimum dengan cara dibawah ini:
Luas =
Luas = = = – 256
Luas = -256 dan Luas = L2
– 32L sehingga kita peroleh hubungan sebagai berikut:
- L
2
– 32L = – 256
- L
2
– 32L + 256 = 0
- (L – 16)
2
= 0
- L = 16
L = 16 kita subtitusi ke persamaan L + P = 32 maka P = 32 – L = 32 – 16 = 16. Jadi panjang dan lebar persegi panjang agar maksimum adalah P = 16 cm dan L = 16 cm. Jadi soal ini jawabannya D.
Cara Menentukan Titik Potong Sumbu X
Sumber: https://jripto.com/contoh-soal-menentukan-titik-potong-sumbu-x-dan-y
