Cara Mencari Akar Akar Persamaan Kuadrat

KlikBelajar.com – Cara Mencari Akar Akar Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu bentuk persamaan dengan pangkat tertinggi variabelnya adalah dua. Persamaan kuadrat dengan variabel x dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut : $$\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}$$ dengan a, b, c bilangan real dan a ≠ 0

Penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat disebut akar-akar persamaan kuadrat, yaitu nilai-nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut atau dengan kata lain, nilai-nilai x yang menyebabkan persamaan kuadrat tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh, akar-akar dari persamaan kuadrat  x2 – 4x + 3 = 0 adalah 1 atau 3, karena
(1)2 – 4(1) + 3 = 0    (benar)
(3)2 – 4(3) + 3 = 0    (benar)

Yang menjadi pertanyaan adalah bagaimana mendapatkan akar-akar tersebut? Hal inilah yang akan kita bahas pada materi ini.

Secara umum ada 3 cara yang digunakan dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat, yaitu :

  1. Memfaktorkan
  2. Melengkapkan kuadrat
  3. Rumus kuadrat

Memfaktorkan

Faktor dari \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a = 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\left ( x+p  \right )\left ( x+q  \right )=0}$$ Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :

p + q = b
p × q = c

Setelah difaktorkan, langkah selanjutnya adalah menyatakan faktor tersebut menjadi sama dengan nol $$\mathrm{x + p = 0\; atau\; x + q = 0}$$ Nilai-nilai x yang diperoleh dari persamaan diatas inilah yang kita sebut dengan akar-akar persamaan kuadrat.


Contoh 1


Tentukan akar-akar dari x2 + 5x + 6 = 0

Jawab :

a = 1 ; b = 5 ; c = 6

p + q = 5
p × q = 6

Artinya, kita akan mencari dua buah bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 5.

Nilai p dan q yang memenuhi adalah
3
dan
2, karena 3 × 2 = 6 dan 3 + 2 = 5

Dengan demikian, faktornya adalah
(x
+ 3)(x
+ 2) = 0

dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x + 2 = 0
x = -3
atau
x = -2


Contoh 2


Tentukan akar-akar dari x2 + 2x − 3 = 0

Baca :   Hitunglah Panjang Sisi Yang Ditanyakan Pada Gambar Berikut

Jawab :

p + q = 2
p × q = -3

Nilai p dan q yang memenuhi adalah
3
dan
−1.  Dengan demikian, faktornya adalah
(x
+ 3)(x
− 1) = 0

dengan akar-akarnya
x + 3 = 0 atau x − 1 = 0
x  = -3
atau
x = 1

Jika contoh-contoh diatas telah dipahami dan dikuasai dengan baik, penyelesaian dari persamaan kuadrat dapat kita tulis lebih singkat seperti contoh berikut.


Contoh 3


Tentukan akar-akar dari x2 − 8x + 15 = 0

Jawab :

x2 − 8x + 15 = 0
(x − 3)(x − 5) = 0  (faktor)
x = 3
atau
x = 5     (akar)

Faktor dari \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) dengan a > 1 dapat dinyatakan dalam bentuk : $$\mathrm{\frac{\left ( ax+p  \right )\left ( ax+q  \right )}{a}=0}$$  Nilai p dan q diperoleh dengan ketentuan :
p + q = b
p × q = ac


Contoh 4


Tentukan akar-akar dari 2x2 + 5x − 3 = 0



Jawab :

a =
2 ; b = 5 ; c = −3

p + q = 5
p × q = 2 (−3) = −6

Nilai p dan q yang memenuhi adalah 6 dan −1. Dengan demikian, faktornya adalah $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 2}x+6 \right )\left ( {\color{Green} 2}x -1  \right )}{{\color{Green} 2}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{2(x+3)\,(2x-1)}{2}=0}$$ $$\mathrm{(x+3)(2x-1)=0}$$

dengan akar-akarnya $$\mathrm{x +3 = 0\; atau\; 2x − 1 = 0}$$ $$\mathrm{x = −3\; atau\; x = \frac{1}{2}}$$


Contoh 5


Tentukan akar-akar dari 6x2 − x − 2 = 0

Jawab :

p + q = −1
p × q = −12
Nilai p dan q yang memenuhi adalah 3 dan −4.

Faktornya adalah  $$\mathrm{\frac{\left ( {\color{Green} 6}x+3  \right )\left ( {\color{Green} 6}x-4  \right )}{{\color{Green} 6}}=0}$$ $$\mathrm{\frac{3(2x+1)\,2(3x-2)}{6}=0}$$ $$\mathrm{\left ( 2x+1  \right )\left ( 3x-2  \right )=0}$$
Akar-akarnya adalah $$\mathrm{2x+1=0\;atau\;3x-2=0}$$ $$\mathrm{x=-\frac{1}{2}\;atau\;x=\frac{2}{3}}$$

Melengkapkan Kuadrat

Menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat merupakan salah satu alternatif jika akar-akar persamaan kuadrat memuat bentuk akar (irasional) sehingga sulit untuk difaktorkan.

Melengkapkan kuadrat dilakukan dengan cara mengubah salah satu ruas menjadi bentuk kuadrat sempurna (x + p)2.

Bentuk diatas dapat dijabarkan menjadi
(x + p)2 = x2 + 2px + p2

dengan a = 1 , b = 2p dan c = p2

Karena b = 2p, maka p = \(\mathrm{\frac{b} {2}}\). Akibatnya, persamaan diatas dapat kita tulis menjadi

(x + \(\mathrm{\frac{b} {2}}\))2 = x2 + bx + (\(\mathrm{\frac{b} {2}}\))2 (*)

Baca :   Sebuah Baling Baling Perahu Memiliki Diameter 35 Cm

Persamaan inilah yang nantinya kita jadikan acuan dalam mengubah bentuk persamaan kuadrat ke dalam bentuk kuadrat sempurna.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh-contoh berikut!


Contoh 6


Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0

Penyelesaian :

Pindahkan konstanta c ke ruas kanan
x² + 4x  = −1

Tambahkan kedua ruas dengan (\(\mathrm{\frac{b} {2}}\))2
x² + 4x +
(\(\mathrm{\frac{4}{2}}\))2
= −1 +(\(\mathrm{\frac{4}{2}}\))2


x² + 4x + 4 = 3

Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna dengan mengacu pada (*) sehingga diperoleh
(x + 2)2 = 3

Akarkan kedua ruas sehingga diperoleh
x + 2 =  ±√3
x = -2 ±√3

Jadi, akar-akarnya adalah
x =

2 + √3
atau
x =

−2
 − √3

Apabila a ≠ 1, langkah awal yang harus dilakukan adalah membagi atau mengalikan kedua ruas dengan suatu bilangan sehingga diperoleh a = 1.


Contoh 7


Tentukan akar-akar dari 4x² + 4x − 7 = 0

Penyelesaian :

Bagi kedua ruas dengan 4
x² + x − \(\frac{7}{4}\) = 0

Pada tahap ini, langkah-langkahnya sama dengan contoh sebelumnya.
x² + x = \(\frac{7}{4}\)

x² + x +(\(\frac{1}{2}\))2= \(\frac{7}{4}\) +(\(\frac{1}{2}\))2

x² + x + \(\frac{1}{4}\) = 2

(x

+

 \(\frac{1}{2}\))2 = 2

x + \(\frac{1}{2}\) = ±√2
x = −\(\frac{1}{2}\) ±√2

Jadi, akar-akarnya adalah
x = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\)+ √2
atau
x  = −\(\mathbf{\frac{1}{2}}\)
− √2


Contoh 8


Tentukan akar-akar dari \(-\frac{1}{2}\)x² + x + 1 = 0

Penyelesaian :

Kalikan kedua ruas dengan -2
x² − 2x − 2 = 0

x² − 2x = 2
x² − 2x +(\(\frac{-2}{2}\))
2 = 2 +(\(\frac{-2}{2}\))
2

x² − 2x + 1 = 3

(x − 1)2 = 3

x − 1 = ±√3
x = 1 ±√3

Jadi, akar-akarnya adalah

x = 1 + √3
atau
x = 1 − √3

Rumus Kuadrat

Sama halnya dengan melengkapkan kuadrat, rumus kuadrat atau sering disebut rumus abc ini juga dapat menjadi alternatif dalam menentukan akar-akar persamaan kuadrat dimana akar-akarnya memuat bentuk akar (irasional). Atau untuk persamaan kuadrat yang sebenarnya bisa difaktorkan, tetapi sulit untuk difaktorkan karena memuat nilai-nilai a, b, c yang cukup besar.

Dengan mengubah bentuk \(\mathrm{ax^{2}+bx+c=0}\) ke dalam bentuk kuadrat sempurna akan diperoleh rumus kuadrat sebagai berikut :$$\mathrm{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac} }{2a}}$$

Baca :   Elektron Valensi Suatu Atom Ditunjukkan Oleh Elektron


Contoh 9

Tentukan akar-akar dari x² + 4x + 1 = 0
    Jawab
:
a = 1
b = 4
c = 1

x1,2 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4.1.1} }{2.1}}\)

x1,2
 = \(\mathrm{\frac{-4\pm\sqrt{12} }{2}}\)
x1,2
 = \(\mathrm{\frac{-4\pm2\sqrt{3} }{2}}\)


x1,2
 = \(\mathrm{-2\pm\sqrt{3}}\)

x1 = \(\mathrm{-2+\sqrt{3}}\)
x2 = \(\mathrm{-2-\sqrt{3}}\)


Contoh 10


Tentukan akar-akar dari x² − 5x − 104 = 0
Jawab :
a = 1
b = −5
c = −104

x1,2 = \(\mathrm{\frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4.1.(-104)} }{2.1}}\)
  x1,2
 = \(\mathrm{\frac{5\pm\sqrt{441} }{2}}\)
  x1,2
 = \(\mathrm{\frac{5\pm21 }{2}}\)

x1 = \(\mathrm{\frac{5+21 }{2}}\) = 13
x2 = \(\mathrm{\frac{5-21 }{2}}\) = −8

Materi menentukan akar-akar persamaan kuadrat dapat ditemukan pada hampir semua materi matematika SMA, terutama metode pemfaktoran. Untuk itu sangat direkomendasikan untuk dipahami dan dikuasai dengan baik.

Cara Mencari Akar Akar Persamaan Kuadrat

Sumber: https://smatika.blogspot.com/2016/08/menentukan-akar-akar-persamaan-kuadrat.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …