Bentuk Umum Spltv

Definisi dan Bentuk Umum SPLTV

Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan bentuk perluasan dari sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Sistem persamaan linear tiga variabel adalah suatu persamaan matematika yang terdiri atas 3 persamaan linear yang masing-masing persamaan bervariabel tiga (misal x, y dan z). Dengan demikian, bentuk umum dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam x, y, dan z dapat ditulis sebagai berikut:

Dengan a, b, c, d, e, f, yard, h, i, j, one thousand, dan l atau a
1
, b
1
, c
one
, d
i
, a
two
, b
2
, c
2
, d
2
, a
3
, b
three
, c
iii
, dan d
3
 merupakan bilangan-bilangan real.

Keterangan:

a, e, I, a
1
, a
2
, a
3
 = koefisien dari x

b, f, j, b
1
, b
2
, b
3
 = koefisien dari y

c, g, k, c
1
, c
2
, c
3
 = koefisien dari z

d, h, i, d
1
, d
2
, d
iii
 = konstanta

x, y, z = variabel atau peubah

Ciri
–
Ciri SPLTV

Suatu persamaan dikatakan sistem persamaan linear tiga variabel apabila memiliki karakteristik sebagai berikut.

■

Menggunakan relasi tanda sama dengan (=)

■

Memiliki tiga variabel

■

Ketiga variabel tersebut memiliki derajat satu (berpangkat satu)

Hal
–
Hal yang Berhubungan dengan SPLTV

Terdapat tiga komponen atau unsur yang selalu berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variabel, yakni: suku, variabel, koefisien dan konstanta. Berikut ini adalah penjelasan masing-masing komponen SPLTV tersebut.

#1  Suku

Suku adalah bagian dari suatu bentuk aljabar yang terdiri dari variabel, koefisien dan konstanta. Setiap suku dipisahkan dengan tanda baca penjumlahan ataupun pengurangan.

Contoh :

6x
–
 y + 4z + 7 = 0, maka suku
–
suku dari persamaan tersebut adalah 6x , -y, 4z dan seven.

#2 Variabel

Variabel adalah peubah atau pengganti suatu bilangan yang biasanya dilambangkan dengan huruf seperti x, y dan z.

Contoh :

Yulisa memiliki 2 buah apel, 5 buah mangga dan 6 buah jeruk. Jika dituliskan dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z.

#3 Koefisien

Koefisien adalah suatu bilangan yang menyatakan banyaknya suatu jumlah variabel yang sejenis. Koefisien disebut juga dengan bilangan yang ada di depan variabel, karena penulisan sebuah persamaan koefisien berada di depan variabel.

Contoh :

Yulisa memiliki two buah apel, 5 buah mangga dan six buah jeruk. Jika ditulis dalam bentuk persamaan maka:

Misal: apel = x , mangga = y dan jeruk = z, sehingga persamannya adalah 2x + 5y + 6z. Dari persamaan tersebut, kita ketahui bahwa ii, 5 dan half dozen adalah koefisien di mana 2 adalah koefisien x , 5 adalah koefisien y dan 6 adalah koefisien z.

#four  Konstanta

Konstanta adalah bilangan yang tidak diikuti dengan variabel, sehingga nilainya tetap atau konstan untuk berapapun nilai variabel atau peubahnya.

Contoh :

2x + 5y + 6z + 7 = 0, dari persamaan tersebut konstanta adalah  vii, karena 7 nilainya tetap dan tidak terpengaruh dengan berapapun variabelnya.

Syarat SPLDV Memiliki Satu Penyelesaian

Suatu sistem persamaan linier 3 variabel akan tepat memiliki sebuah penyelesaian atau satu himpunan penyelesaian jika memenuhi syarat atau ketentuan berikut ini.

■

Ada lebih dari satu atau ada tiga persamaan linier tiga variabel sejenis.

Contoh :

x + y + z = 5

x + 2y + 3z = vi

2x + 4y + 5z = 9

■

Persamaan Linier Tiga Variabel yang membentuk Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel, bukan Persamaan Linier Tiga Variabel yang sama.

Contoh :

2x
−
 3y + z =
−
five

2x + z
−
 3y + 5 = 0

4x
–
 6y + 2z =
−
ten

Ketiga persamaan di atas merupakan sistem persamaan linear tiga variabel yang sama sehingga tidak memiliki tepat satu himpunan penyelesaian.

Cara Penyelesaian SPLDV

Bentuk umum dari sistem persamaan linear tiga variabel dapat kita tuliskan sebagai berikut.

a
1
x + b
one
y + c
1
z = d
1

a
two
x + b
2
y + c
2
z = d
two

a
three
x + b
three
y + c
three
z = d
3

Jika nilai x = x

, y = y

, dan z = z

, ditulis dengan pasangan terurut (x

, y

, z

), memenuhi SPLTV di atas, maka haruslah berlaku hubungan sebagai berikut.

a
1
ten

 + b
i
y

 + c
ane
z

 = d
1

a
2
x

 + b
2
y

 + c
ii
z

 = d
two

a
3
x

 + b
3
y

 + c
3
z

 = d
iii

Dalam hal demikian, (x

, y

, z

) disebut penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dan
himpunan penyelesaiannya
 ditulis sebagai {(x

, y

, z

)}.

Sebagai contoh, terdapat SPLTV berikut ini.

2x + y + z = 12

ten + 2y
–
 z = iii

3x
–
 y + z = 11

SPLTV di atas mempunyai penyelesaian (three, ii, 4) dengan himpunan penyelesaiannya adalah {(ii, 3, 4)}. Untuk membuktikan kebenaran bahwa (3, 2, four) merupakan penyelesaian dari SPLTV tersebut, maka subtitusikanlah nilai ten = 3, y = 2 dan z = four ke dalam persamaan 2x + y + z = 12, x + 2y
–
 z = 3 dan 3x
–
 y + z = 11, sehingga kita peroleh:

⇔
 two(iii) + 2 + 4 = 6 + 2 + 4 = 12, benar

⇔
 3 + ii(2)
–
 4 = three + four
–
 four = 3, benar

⇔
 three(three)
–
 2 + 4 = nine
–
 2 + 4 = 11, benar

Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) dapat ditentukan dengan beberapa cara, diantaranya adalah dengan menggunakan:

■

Metode subtitusi

■

Metode eliminasi

■

Metode gabungan atau campuran

■

Metode determinan

■

Metode invers matriks