Beda Barisan Dan Deret

i. Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah sama. Beda dinotasikan “b” memenuhi pola berikut.

b


=
u
₂



–
u
_i=
u
₃



–
u
₂=
u
₄
–
u
_iii
= … =
u_n
–
u
_{(due north–1)}

Dengan:

north


adalah bilangan asli sebagai nomor suku,

u_n


adalah suku ke-due north.

Berdasarkan definisi di atas diperoleh bentuk umum barisan aritmetika sebagai berikut.

Rumus suku ke-due north baris aritmetika

Setiap dua suku yang berurutan pada barisan aritmetika memiliki beda yang sama, maka diperoleh

u


_i


=
a

u


_ii


=
u
₁
+ one.b

u


_three


=
u
_ii
+
b
=
u
_i
+ 2.b

u


₄


=
u
₃
+
b
=
u
_one
+ iii.b

u


₅


=
u
₄
+
b
=
u
₁
+ 4.b

…

u_{due north}


=
u
₁
+ (n
– ane)b

Jadi jika
u
₁,
u
₂,
u
₃,
u
₄,
u
_v, …,
u_n
merupakan suku-suku barisan aritmetika, rumus suku ke-n
barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut.

dengan:

a


=
u
_i
adalah suku pertama barisan aritmetika,

b


= beda barisan aritmetika

Contoh soal tentang baris aritmetika dan penyelesaiannya

ane. Tentukan suku ke-7
barisan di bawah ini!

1,  4, 7, 10,…

Jawab:

Dari barisan bilangan diatas, diketahui bahwa

u

1 =
a
= 1,

u

2 = 4,

u

iii = seven, ….

b


=
u2 –
uane =
uthree–
uii = 3.

Karena
united nations
=
a
+ (due north
– 1)b, maka

u₇



=
a
+ (n – 1)b.

u₇



= 1 + (7 – ane)3

u₇



= 1 + 18

u₇



= nineteen

two. Suku ke-three barisan aritmetika adalah 15 dan suku ke-eight adalah 45. Tentukan suku ke-21.

Jawab:

Berikut ini salah satu cara dalam menyelesaikan soal barisan aritmetika.

Pertama mencari nilai beda dengan eliminasi suku- suku yang diketahui

Ingat bahwa u_{due north}
= a + (north – one)b, maka:

Untuk mencari nilai a, subtitusikan nilai b ke suku ke-iii atau ke-8. Berikut dicontohkan dengan subtitusi pada suku ke-iii

u_three
= a + 2b

fifteen = a + two.6

15 = a + 12

a = xv -12

a = three

Setelah beda dan suku pertama telah diketahui sekarang kita dapat mencari suku ke-n

u_{due north}

= a + (n – one)

u₂₁
= 3 + (21-1)6

u₂₁
= 3 +(xx)6

u₂₁
= 3 + 120

u₂₁
= 123

Jadi suku ke-21 adalah 123

Deret Aritmetika

Deret aritmetika

dapat diartikan sebagai


penjumlahan


semua


suku barisan aritmetika


secara berurutan
.

Contoh deret aritmetika

ane + four + 7 + 10 + …

Cara menghitung jumlah due north suku pertama

Untuk menentukan jumlah
due north
suku pertama, ditentukan rumus berikut:

sn


=
a
+ (a
+
b) + (a
+ 2b) + … + (a
+ (n
– one)b)…………..(1)

Persamaan 1) juga dapat dituliskan

sn


= (a
+ (north
– 1)b) + … + (a
+ iib) + (a
+
b) +
a………….(2)

Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas, diperoleh:

Jadi rumus jumlah
n
suku pertama barisan aritmetika adalah

Contoh:

Diketahui a adalah

bilangan bulat positif, tentukan nilai a jika a memenuhi

a

+ (a + two) + (a + 4) + … + 100 = 2548.

Penyelesaian:

Suku ke-due north barisan bilangan di atas adalah 100, sehingga

un

= a + (northward – 1)b

100 = a + (n – i)2

100 = a + 2n -2

a

= 102 – 2n.

Jumlah n suku pertama adalah 2548 sehingga

sn

= northward/2(2a + (n – one)b)

2548 = north/ii(2a + (north – ane)2)

5096 = northward (2a + (n-i))

Dengan mensubtitusikan a = 102 – 2n, diperoleh northward²
– 101n + 2548 = 0.

Ingat kembali cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

n

²


– 101n + 2278 = 0

 (northward – 52).(due north – 49) = 0.

diperoleh, north = 52 atau n = 49.  Subtitusikan nilai north ke persamaan a = 102 – 2n.

n = 52 maka a = -2

due north = 49 maka a = 4

Karena diketahui nilai a bilangan bulat positif maka nilai yang memenuhi adalah n = 49 dengan nilai a = iv.

two. Barisan dan Deret Geometri

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Rasio, dinotasikan
r
merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai
r


asio





dinyatakan:

Rumus suku ke-north barisan geometri

Jika
u
₁,
u
₂
,
u
₃, …,
un
merupakan susunan suku-suku barisan geometri, maka rumus suku ke-n
adalah

dengan:

u


₁


=
a

r


=
rasio,

north


= bilangan asli.

Contoh soal barisan geometri dan penyelesaiannya

Tentukanlah rumus suku ke-n
dan
suku ke-vii dari barisan 27, ix, three, 1, …

Rasio dua suku berurutan pada barisan 27, nine, 3, 1, . . . adalah tetap, yaitu
r = 1/3
sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan geometri.

Rumus suku ke-n
barisan geometri tersebut adalah

Suku ke-seven barisan geometri tersebut adalah

Deret geometri

Rumus umum deret geometri

dengan:

u


_one


=
a

r


=

rasio.

Sifat-sifat deret geometri

Berikut sifat-sifat deret geometri berdasarkan nilai rasio (r) deret tersebut.

Jika suatu deret geometri suku pertama adalah u_one
= a, dan rasio = r, maka jumlah n suku pertama adalah

Pembuktian

Contoh soal deret geometri dan penyelesaiannya:

Suatu deret geometri mempunyai suku ke-iii sama dengan 16 dan

suku ke-6 sama dengan 128 . Tentukanlah jumlah northward suku pertama

dan jumlah x
suku pertama deret geometri tersebut!

Penyelesaian:

uⁱⁱⁱ
= 16 , maka ar²
= 16

u

⁶


= 128, maka ar⁵
= 128

u⁶
= uⁱⁱⁱ.r³

128 = 16.r³

8 = r³

r = 2

Dengan mensubstitusi r = 2 ke persamaan arⁱⁱ
= 16,

didapatkan

a.
ii²
= 16

4a = xvi

a

= 4.

Deret Geometri Tak Terhingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < ane.

Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.

Untuk northward tak terhingga terdapat dua kasus, yaitu:

Kasus ane

Jika -1

<

r

<


 ane, maka r

ⁿ



menuju 0.

Sehingga,

Deret geometri dengan -1

<

r

<


 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat).

Kasus 2

Jika r < -1 atau r > i, maka untuk n

→


¥

nilai rⁿ
makin besar.

Untuk r < -1, n

→


¥

dengan n ganjil didapat r^{due north}


→


¥

Untuk r < -1, due north

→


¥

dengan north genap didapat r^{due north}


→


¥

Untuk r > one, n

→


¥

didapat r^northward


→


¥

Sehingga

Deret geometri dengan r < -1 atau r > one ini disebut deret geometri divergen
(memencar).