Akar Rasional

$$



x

3


−


4

10

ii


+
2
ten
−


viii
=



{\displaystyle 10^{iii}-4x^{two}+2x-eight=0}

Nilai $$ ten {\displaystyle x}	Nilai $$ P ( x ) {\displaystyle P(x)}
$$ − eight {\displaystyle -8}	$$ − 792 {\displaystyle -792}
$$ − iv {\displaystyle -4}	$$ − 144 {\displaystyle -144}
$$ − 2 {\displaystyle -2}	$$ − 36 {\displaystyle -36}
$$ − ane {\displaystyle -one}	$$ − xv {\displaystyle -15}
$$ 1 {\displaystyle ane}	$$ − 9 {\displaystyle -9}
$$ 2 {\displaystyle 2}	$$ − 12 {\displaystyle -12}
$$ 4 {\displaystyle 4}	$$ {\displaystyle 0}
$$ 8 {\displaystyle eight}	$$ 264 {\displaystyle 264}

Teorema akar rasional
atau
uji akar rasional
^[1]
atau
teorema rasional nol
adalah teorema yang pertama kali ditemukan oleh René Descartes pada abad ke-17.^[2]
[1]. Teorema ini menjelaskan persamaan polinomial dengan koefisien adalah bilangan bulat dan solusi akarnya berupa bilangan rasional. Teorema mengatakan bahwa untuk persamaan

$$



a

due north



ten

n


+

a

northward
−


one



x

n
−


1


+
⋯


+

a

one


x
+

a




=



{\displaystyle a_{n}ten^{n}+a_{n-1}x^{n-one}+\cdots +a_{one}ten+a_{0}=0}

,

dimana

$$



a




,
…


,

a

n


∈



Z



{\displaystyle a_{0},\dots ,a_{northward}\in \mathbb {Z} }

. Jika persamaan memiliki suatu akar rasional, maka bentuk akar tersebut adalah

$$


10
=

{



±



faktor dari


a






±



faktor dari


a

due north





}



{\displaystyle ten=\left\{{\frac {\pm {\text{faktor dari }}a_{0}}{\pm {\text{faktor dari }}a_{n}}}\right\}}

,

asalkan penyebut dan pembilang pada suatu solusi

$$


x


{\displaystyle 10}

(adalah bilangan rasional) harus membagi habis

$$



a

n




{\displaystyle a_{n}}

dan

$$



a






{\displaystyle a_{0}}

.

Misalnya, diberikan persamaan

$$


P
(
10
)
=

x

3


−


iv

x

2


+
2
x
−


8
=



{\displaystyle P(ten)=x^{3}-4x^{2}+2x-8=0}

. Pada kasus ini,

$$


−


8


{\displaystyle -8}

memiliki faktor

$$


±


ane
,
±


ii
,
±


4
,
±


viii


{\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm four,\pm 8}

dan

$$


1


{\displaystyle ane}

memiliki faktor

$$


±


1


{\displaystyle \pm one}

. Maka, akar pada penyelesaian tersebut adalah

$$


±


{
1
,
ii
,
4
,
8
}


{\displaystyle \pm \{1,2,4,viii\}}

. Dengan memasukkan semua kemungkinan nilai

$$


ten


{\displaystyle ten}

agar persamaan di atas sama dengan nol, maka kita memperoleh

$$


x
=
4


{\displaystyle x=4}

.

Bukti

[sunting
|
sunting sumber]

Misal

$$


10
=


p
q




{\textstyle x={\frac {p}{q}}}

adalah akar rasional pada persamaan polinomial

$$


P
(
x
)


{\displaystyle P(x)}

. Kita cukup membuktikan teorema ini bahwa

$$


p
∣



a






{\displaystyle p\mid a_{0}}

dan

$$


q
∣



a

northward




{\displaystyle q\mid a_{due north}}

, dimana

$$


FPB
⁡


(
p
,
q
)
=
one


{\displaystyle \operatorname {FPB} (p,q)=ane}

. Substitusi nilai

$$


x


{\displaystyle x}

sehingga kita memperoleh

$$



a

n




(


p
q


)


n


+

a

n
−


1




(


p
q


)


n
−


1


+
⋯


+

a

1



(


p
q


)

+

a




=



{\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{north}+a_{n-one}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n-ane}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)+a_{0}=0}

.

Kita akan membuktikan bahwa

$$


p


{\displaystyle p}

membagi habis

$$



a






{\displaystyle a_{0}}

. Mula-mula, kita pindah-ruaskan

$$



a






{\displaystyle a_{0}}

.

$$



a

due north




(


p
q


)


n


+

a

n
−


1




(


p
q


)


n
−


ane


+
⋯


+

a

ane



(


p
q


)

=
−



a






{\displaystyle a_{n}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}+a_{north-i}\left({\frac {p}{q}}\right)^{northward-i}+\cdots +a_{1}\left({\frac {p}{q}}\right)=-a_{0}}

.

Bagi kedua ruas dengan

$$



q

northward




{\displaystyle q^{n}}

dan faktor-keluarkan

$$


p


{\displaystyle p}

untuk ruas kiri. Kita memperoleh

$$


p

(


a

n



p

n
−


1


+
⋯


+

a

one



)

=
−



a





q

n




{\displaystyle p\left(a_{north}p^{n-1}+\cdots +a_{1}\correct)=-a_{0}q^{due north}}

.

Disini, kita memperoleh bahwa

$$


p


{\displaystyle p}

membagi habis

$$



a






{\displaystyle a_{0}}

. Sekarang, kita membuktikan

$$


q


{\displaystyle q}

membagi habis

$$



a

n




{\displaystyle a_{n}}

. Dengan cara yang serupa, kita pindah-ruaskan

$$



a

n




(


p
q


)


n




{\textstyle a_{north}\left({\frac {p}{q}}\right)^{n}}

dan kalikan kedua ruas dengan

$$



q

n




{\displaystyle q^{due north}}

.

$$


q

(


a

due north
−


1



p

northward
−


i


+
⋯


+

a

1


p

q

northward
+
ane


+

a





q

northward



)

=
−



a

n



p

northward




{\displaystyle q\left(a_{n-one}p^{due north-1}+\cdots +a_{one}pq^{n+1}+a_{0}q^{northward}\right)=-a_{due north}p^{n}}

.

Disini, kita memperoleh bahwa

$$


q


{\displaystyle q}

membagi habis

$$



a

n




{\displaystyle a_{n}}

.

$$


◼




{\displaystyle \blacksquare }

^[3]

Rujukan

[sunting
|
sunting sumber]

1. ^
   
   
   <sup>a
   
   
   
   
   b</sup>
   
   
   
   
   “Teorema akar rasional | matematika”.
   Teorema akar rasional | matematika. 2020-06-27.
   
   
   
   
2. 
   ^
   
   
   “Sutori”.
   world wide web.sutori.com
   (dalam bahasa Inggris). Diakses tanggal
   2021-12-23
   .
   
   
   
   
3. 
   ^
   
   
   “Teorema Akar Rasional”.
   ICHI.PRO
   . Diakses tanggal
   2021-12-twenty
   .