Akar Akar Persamaan Pangkat 3

Akar Akar Persamaan Pangkat 3.

Web log Koma
– Artikel kali ini akan membahas materi
Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak. Untuk menentukan
akar-akar persamaan suku banyak, kita akan menggunakan skema horner yang bisa kita pelajari pada materi “Menentukan Nilai Suku Banyak” dan “Operasi Pembagian Suku Banyak”.
Akar-akar dan Faktor Persamaan Suku Banyak
tentu ada kaitannya dengan teorema faktor yang ada pada materi “Teorema Sisa dan Teorema Faktor pada Suku Banyak”.

Pengertian Akar-akar Persamaan Suku Banyak

Jika diketahui suatu suku banyak $ f(x) \, $ dan ($ten – a$) adalah faktor dari $ f(x) $, maka $ a \, $ adalah akar dari persamaan $ f(x) \, $ yang memenuhi $ f(a) = 0 $.

Contoh soal akar-akar persamaan suku banyak :

ane). Apakah 1 dan $ \, -1 \, $ merupakan akar dari persamaan suku banyak $ 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 $ ?

Penyelesaian :

*). Misalkan suku banyaknya $ f(10) = 2x^5 – 3x^two + 2x – 1 \, $

*). Kita substitusi $ x = 1 \, $ dan $ x = -1 \, $ ke $ f(x) $.

$ \begin{align} x = 1 \rightarrow f(x) & = 2x^5 – 3x^2 + 2x – 1 \\ f(ane) & = 2.1^5 – 3.i^2 + ii.1 – 1 \\ & = 2 – three + ii – ane \\ & = 0 \\ 10 = -one \rightarrow f(ten) & = 2x^v – 3x^2 + 2x – one \\ f(-1) & = 2.(-ane)^5 – 3.(-ane)^2 + 2.(-1) – i \\ & = ii.(-1) – 3.(1) – 2 – ane \\ & = -2 – three – 2 – 1 \\ & = -8 \stop{marshal} $

*). Kita peroleh :

$ f(one) = 0 \, $ artinya $ x = ane \, $ adalah akar dari suku banyaknya.

Karena $ x = ane \, $ adalah akarnya, maka $ ten = 1 \rightarrow x – 1 = 0 \, $ atau ($x – 1$) adalah faktor dari $ f(x) $.

$ f(-one) = -8 \, $ artinya $ x = -1 \, $ bukan akar dari suku banyaknya karena $ f(-1) \neq 0 $ .

Cara Menentukan Akar-akar dan faktor Persamaan Suku Banyak

Misalkan ada persamaan suku banyak

$ ax^n + cx^{n-1} + c_1x^{north-2} + … +c_{northward-1}x + b = 0 \, $

Langkah-langkah menentukan akar-akarnya :

(i). Menentukan
akar-akar Rasional
yang mungkin diperoleh dari pembagian faktor $ b \, $ dan faktor $ a \, $ atau $ \, \frac{ \text{faktor } b }{\text{faktor } a} $. Jika nilai $ a = 1 \, $ maka akar-akar yang mungkin hanya ditentukan oleh faktor dari $ b \, $ saja.

(ii). Dari akar-akar yang mungkin tersebut, kita substitusi ke bentuk suku banyaknya, jika hasilnya adalah nol maka bilangan tersebut adalah akar pertamanya.

(iii). Dari akar pertamanya tersebut, kita gunakan skema Horner untuk menentukan hasil pembagiannya.

Contoh Soal menentukan akar-akarnya :

2). Tentukan akar-akar dan faktor dari persamaan suku banyak $ \, x^3 + 2x^2 – 5x – 6 = 0 $.

Penyelesaian :

*). Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^ii – 5x – vi \, $.

*). Akar-akar yang mungkin adalah dari faktor dari $ – 6 \, $ yaitu $ \{ \pm i , \, \pm 2, \, \pm 3, \, \pm 6 \} $.

Faktor disini maksudnya adalah pembaginya.

*). Kita akan substitusi akar-akar yang mungkin $ \{ \pm 1 , \, \pm two, \, \pm 3, \, \pm six \} $ ke suku banyaknya.

$ \begin{marshal} x = ane \rightarrow f(10) & = 10^three + 2x^2 – 5x – six \\ f(ane) & = one^3 + two.1^2 – 5.1 – half dozen \\ f(i) & = 1 + 2 – 5 – half-dozen = – 8 \\ x = -i \rightarrow f(x) & = x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \\ f(-one) & = (-1)^3 + 2(-1)^two – 5.(-one) – 6 \\ f(-i) & = -1 + ii + 5 – 6 = 0 \end{align} $

Karena $ f(-ane) = 0 \, $ maka $ x = -ane \, $ adalah akar pertamanya.

*). Kita gunakan skema Horner :

Suku banyaknya : $ f(x) = x^3 + 2x^two – 5x – 6 \, $ koefisiennya $ i, \, two, \, -5, \, -6 $

Akarnya : $ x = -1 \, $ atau faktornya ($ten + 1$).

Baca :   Cara Perawatan Bambu Hoki

Hasilnya adalah $ 10^two + 10 – 6 \, $ . Artinya bentuk suku banyak $ x^3 + 2x^2 – 5x – 6 \, $ dapat difaktorkan menjadi

$ \brainstorm{align} x^3 + 2x^two – 5x – 6 & = 0 \\ (ten^two + x – 6)(x+1) & = 0 \\ (10-ii)(10+3)(x+1) & = 0 \terminate{align} $

Sehingga faktor-faktor dari $ 10^3 + 2x^ii – 5x – half dozen = 0 \, $ adalah $ \, (10 – two), \, (10 + three) , \, $ dan $ \, (x + ane) $.

*). Menentukan akar-akarnya :

Faktor pertama : $ (x – two) = 0 \rightarrow 10 = ii $

Faktor kedua : $ (x + 3) = 0 \rightarrow x = -3 $

Faktor ketiga : $ (x + 1) = 0 \rightarrow x = -ane $

Jadi, akar-akarnya adalah $ \{ -3, \, -2, \, 2 \} $.

Catatan :

*). Bentuk persamaan kuadrat bisa langsung difaktorkan jika memang bisa difaktorkan.

*). Bentuk $ x^ii + ten – 6 = (x-2)(x+3) \, $

*). Untuk pemfaktoran bentuk persamaan kuadrat, silahkan baca pada artikel “Menentukan akar-akar Persamaan Kuadrat”.

iii). Jika ($ x + one$) adalah salah satu faktor dari $ 2x^3 – 3x^2+ px + 2 = 0 \, $, maka tentukan faktor-faktor lainnya.

Penyelesaian :

*). Misal suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 – 3x^two+ px + 2 \, $.

*). Menentukan nilai $ p $,

Karena ($ ten + one$) adalah faktor dari $ f(x) \, $ maka $ f(-1) = 0 $.

$ \brainstorm{align} f(10) & = 2x^iii – 3x^2+ px + 2 \\ f(-1) & = 0 \\ 2(-1)^3 – 3(-1)^2+ p(-i) + 2 & = 0 \\ -2 – three -p + 2 & = 0 \\ – 3 -p & = 0 \\ p & = -3 \end{marshal} $

Sehingga suku banyaknya menjadi : $ f(x) = 2x^three – 3x^2 – 3x + 2 $

*). Memfaktorkan suku banyak dengan skema horner :

Suku banyaknya : $ f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 3x + 2 \, $ koefisiennya $ 2, \, -3, \, -3, \, ii $

Faktornya ($x + 1$), sehingga akarnya : $ x + one = 0 \rightarrow 10 = -1 $.

Hasilnya adalah $ 2x^2 – 5x + 2 \, $ . Artinya bentuk suku banyak $ 2x^3 – 3x^ii – 3x + 2 \, $ dapat difaktorkan menjadi

$ \begin{align} 2x^3 – 3x^2 – 3x + two & = 0 \\ (2x^2 – 5x + 2)(x+1) & = 0 \\ (2x-1)(x-2)(x+i) & = 0 \finish{marshal} $

Sehingga faktor-faktor dari $ 2x^iii – 3x^two – 3x + two = 0 \, $ adalah $ \, (2x – 1), \, (x – two) , \, $ dan $ \, (10 + 1) $.

Jadi, faktor-faktor lainnya adalah $ \, (2x – ane), \, $ dan $ \, (x – ii) $ .

Baca :   Soal Mengukur Sudut Dengan Busur Derajat Kelas 4

Operasi Akar-akar Persamaan Suku Banyak

Berikut akan kita bahas operasi akar-akar persamaan suku banyak, maksudnya kita akan bahas rumus-rumusnya tanpa menentukan akar-akarnya terlebih dahulu.

Rumus-rumus operasi akar-akar :

*). Suku banyak berderajat 2 : $ ax^ii + bx + c = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2 $

penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 = – \frac{b}{a} $

penjumlahan dua-dua : $ x_1 . x_2 = \frac{c}{a} $

*). Suku banyak berderajat 3 : $ ax^3 + bx^ii + cx + d = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, \, x_2, \, x_3 $

penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 = – \frac{b}{a} $

penjumlahan dua-dua : $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} $

penjumlahan tiga-tiga : $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} $

*). Suku banyak berderajat iv : $ ax^iv + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 \, $ akar-akarnya $ \, x_1, x_2, x_3, x_4 $

penjumlahan satu-satu : $ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = – \frac{b}{a} $

penjumlahan dua-dua :

$ x_1. x_2 + x_1.x_3 + x_1.x_4 + x_2.x_3 + x_2.x_4 + x_3.x_4 = \frac{c}{a} $

penjumlahan tiga-tiga :

$ x_1. x_2.x_3 + x_2. x_3.x_4 + x_3. x_4.x_1 + x_4. x_1.x_2 = – \frac{d}{a} $

penjumlahan empat-empat : $ x_1. x_2.x_3 .x_4 = \frac{e}{a} $

Berlaku juga untuk suku banyak berderajat lebih dari four, dengan pola rumus yang hampir mirip.

Contoh soal operasi akar-akar persamaan suku banyak :

4). Diketahui persamaan suku banyak $ x^iii – 2x^2 + 5x + 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ \, x_1, x_2, x_3 $.

Tentukan nilai :

a). $ x_1 + x_2 + x_3 $

b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $

c). $ x_1. x_2.x_3 $

Penyelesaian :

*). Untuk penyelesaian soal-soal ini, kita tidak perlu menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, langsung saja kita gunakan rumus-rumus operasi akar-akar.

*). Menentukan koefisiennya : $ ten^three – 2x^two + 5x + ane = 0 \, $ maka $ a = i, b = -2, c = five, d = 1 $.

a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = – \frac{-2}{ane} = two $

b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = five $

c). $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} = -\frac{1}{1} = – i $

5). Jika two adalah salah satu akar persamaan $ \, 2x^four – 6x^3 + px – 1 = 0 \, $ dengan akar-akar $ x_1, x_2, x_3, x_4 $ , maka tentukan jumlah akar-akarnya.

Penyelesaian :

*). Kita tidak perlu menentukan nilai $ \, p \, $ terlebih dahulu, tapi langsung menggunakan operasi akar-akarnya.

*). Menentukan koefisiennya : $ 2x^4 – 6x^3 + px – ane = 0 \rightarrow a = two, b = -6, c = 0, d = p, e = -1 $.

$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = – \frac{b}{a} = – \frac{-six}{2} = 3 $

Jadi, jumlah akar-akarnya adalah 3.

5). Diketahui -two dan 3 adalah akar-akar dari persamaan $ x^5 – 2x^iii + mx^ii + nx – 12 = 0 \, $ . Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar lainnya.
Penyelesaian :

*). Misalkan akar-akar dari persamaan adalah $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 \, $ dengan $ x_1 = -2, x_2 = 3 $

*). $ ten^5 – 2x^3 + mx^2 + nx – 12 = 0 \rightarrow a = 1, b = 0, c = -2, d = 1000, e = n, f = -12 $.

*). Karena yang diketahui adalah $ x_1 = -ii \, $ dan $ x_2 = three \, $ , maka pertanyaannya :

Jumlah akar-akar lainnya adalah $ x_3 + x_ 4 + x_ 5 $

Hasil kali akar-akar lainnya adalah $ x_3 . x_ 4 . x_ 5 $

*). Kita tidak perlu menentukan semua akar-akarnya terlebih dahulu, tapi langsung menggunakan rumus operasi akar-akarnya.

Jumlah akar-akar lainnya adalah $ x_3 + x_ four + x_ v $

$ \brainstorm{align} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_ 5 & = – \frac{b}{a} \\ (-2) + iii + x_3 + x_4 + x_ 5 & = – \frac{0}{1} \\ 1 + x_3 + x_4 + x_ v & = 0 \\ x_3 + x_4 + x_ five & = -i \stop{align} $

Hasil kali akar-akar lainnya adalah $ x_3 . x_ four . x_ 5 $

$ \begin{align} x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_ 5 & = – \frac{f}{a} \\ (-2) . iii . x_3 . x_4 . x_ 5 & = – \frac{-12}{1} \\ (-6) . x_3 . x_4 . x_ v & = 12 \\ x_3 . x_4 . x_ five & = \frac{12 }{-half-dozen} = -two \end{align} $

Jadi, jumlah akar-akar lainnya adalah $ -ane $ dan hasil kali akar-akar lainnya adalah $ -two $.

Baca :   Kecepatan Roket Lepas Dari Bumi

6). Diketahui $ x_1, x_2 $, dan $ x_3 $ adalah akar-akar persamaan $ 2x^3 – mx^2 – 18x + 36 = 0 $.

Tentukan: a). $ x_1 + x_2 + x_3 $

b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 $

c). $ x_1. x_2.x_3 $

d). nilai $ m \, $ dan akar-akarnya jika $ x_2 \, $ adalah lawan dari $ x_1 $.

Penyelesaian :

*). Menentukan koefisiennya :

$ 2x^iii – mx^2 – 18x + 36 = 0 \, $ maka $ a = 2, b = -g, c = -18, d = 36 $.

a). $ x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = – \frac{-m}{2} = \frac{m}{2} \, $ ….pers(i).
b). $ x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 = \frac{c}{a} = \frac{-eighteen}{2} = -9 \, $ ….pers(two).

c). $ x_1. x_2.x_3 = – \frac{d}{a} = -\frac{36}{2} = – 18 \, $ ….pers(iii).

d). $ x_2 \, $ adalah lawan dari $ x_1 \, $ maksudnya $ x_2 = -x_1 $.

dari pers(i) :

$ \begin{align} x_1 + x_2 + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_1 + (-x_1) + x_3 & = \frac{m}{2} \\ x_3 & = \frac{grand}{2} \\ thou & = 2x_3 \end{align} $

dari pers(ii) :

$ \begin{align} x_1. x_2 + x_2.x_3 + x_1.x_3 & = -nine \\ x_1. (-x_1) + (-x_1).x_3 + x_1.x_3 & = -ix \\ -x_1^2 – x_1.x_3 + x_1.x_3 & = -9 \\ -x_1^2 & = -9 \\ x_1^2 & = nine \\ x_1 & = \pm \sqrt{9} \\ x_1 & = \pm 3 \terminate{marshal} $

*). Menentukan akar-akar dan nilai $ m \, $ dari $ x_2 = -x_1, \, m = 2x_3, \, x_1 = \pm 3 $ .

*). Untuk $ x_ 1 = 3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -iii $.

pers(iii) :

$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow 3. (-three). x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.

$ m = 2x_3 = 2. 2 = iv $.

Sehingga nilai $ m = 4, x_1 = 3, x_2 = -iii, x_3 = ii $

*). Untuk $ x_ one = -3 , \, $ maka $ x_2 = -x_1 = -(-3) = 3 $.

pers(iii) :

$ x_1. x_2.x_3 = -18 \rightarrow (-3). 3. x_3 = -18 \rightarrow x_3 = 2 $.

$ grand = 2x_3 = 2. ii = 4 $.

Sehingga nilai $ one thousand = 4, x_1 = -three, x_2 = 3, x_3 = ii $

Jadi, ada dua jenis nilai akar-akar yang kita peroleh.

Akar Akar Persamaan Pangkat 3

Source: https://www.konsep-matematika.com/2016/01/akar-akar-dan-faktor-persamaan-suku-banyak.html

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …