2+4+6+8+…+2n Dengan Induksi Matematika Rumus Deret Tersebut Adalah

2+4+6+8+…+2n Dengan Induksi Matematika Rumus Deret Tersebut Adalah

Daftar Isi:

Induksi Matematika

Merupakan pembuktian dengan cara deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Perlu ditekankan bahwa induksi matematika hanya digunakan untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan atau rumus, bukan untuk menurunkan rumus. Atau lebih tegasnya induksi matematika tidak dapat digunakan untuk menurunkan atau menemukan rumus.

Prinsip Induksi Matematika

Untuk setiap bilangan bulat positifn, misalkanP(n) adalah pernyataan yang bergantung padanorthward. Jika

  1. P(1) benar dan
  2. untuk setiap bilangan bulat positifk, jikaP(k) benar makaP(yard + 1) benar

maka pernyataanP(n) bernilai benar untuk semua bilangan bulat positifnorthward.

Untuk menerapkan prinsip induksi matematika, kita harus melakukan 2 langkah:

  • Langkah ane Buktikan bahwaP(ane) benar. (langkah dasar)
  • Langkah 2 Anggap bahwaP(thou) benar, dan gunakan anggapan ini untuk membuktikan bahwaP(1000 + 1) benar. (langkah induksi)

Perlu diingat bahwa dalam Langkah ii kita tidak membuktikan bahwaP(k) benar. Kita hanya menunjukkan bahwa jikaP(k) benar, makaP(thou + one) juga bernilai benar. Anggapan bahwa pernyataanP(chiliad) benar disebut sebagaihipotesis induksi.

Untuk menerapkan Prinsip Induksi Matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataanP(thou + 1) ke dalam pernyataanP(grand) yang diberikan. Untuk menyatakanP(grand + i), substitusi kuantitasm + 1 keone thousand dalam pernyataanP(one thousand).


Langkah-Langkah Pembuktian Induksi Matematika

Dari uraian-uraian diatas, langkah-langkah pembuktian induksi matematika dapat kita urutkan sebagai berikut :

  1. Langkah dasar: Tunjukkan P(1) benar.
  2. Langkah induksi: Asumsikan P(k) benar untuk sebarang yard bilangan asli, kemudian tunjukkan P(k+ one) juga benar berdasarkan asumsi tersebut.
  3. Kesimpulan: P(n) benar untuk setiap bilangan asli north.

Pembuktian Deret

Sebelum masuk pada pembuktian deret, ada beberapa hal yang perlu dipahami dengan baik menyangkut deret.

Jika P(n) :  u1 + utwo + u3 + … + un = Sn , maka
P(i) :  u1 = Sone

P(k) :  uane + utwo + u3 + … + uk = Southk

P(k + i) :  ui + utwo + uiii + … + uthou + uk+1 = Southwardk+one

Pembuktian Keterbagian

Pernyataan “a habis dibagi b” bersinonim dengan :

  • a kelipatan b
  • b faktor dari a
  • b membagi a

Jika p habis dibagi a dan q habis dibagi a, maka (p + q) juga habis dibagi a.
Sebagai contoh, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (iv + six) juga habis dibagi 2.

Pembuktian Pertidaksamaan

Berikut sifat-sifat pertidaksamaan yang sering digunakan:
1.  Sifat transitif
a > b > c  ⇒  a > c  atau
a < b < c  ⇒  a < c

ii.  a < b dan c > 0  ⇒  air-conditioning < bc  atau
a > b dan c > 0  ⇒  ac > bc

3.  a < b  ⇒  a + c < b + c  atau
a > b  ⇒  a + c > b + c

Mari kita coba untuk latihan menggunakan sifat-sifat diatas untuk menunjukkan implikasi “jika P(k) benar maka P(k + 1) juga benar”.

Misalkan
P(one thousand) :  4k < twothousand

P(k + 1) :  4(k + one) < 2one thousand+ane

Jika diasumsikan P(k) benar untuk k ≥ 5, tunjukkan P(grand + 1) juga benar !

Ingat bahwa target kita adalah menunjukkan
4(k + i) < 2k+1 = two(twok) =2k + twok
  (TARGET)

Kita dapat mulai dari ruas kiri pertaksamaan diatas
4(k + 1) = 4k + 4
iv(k + 1) < iim + 4        (karena 4k < 2k)
4(grand + 1) < 2g + 2k      (karena 4 < 4k < 2k)
4(k + 1) = 2(two1000)
iv(k + 1) = twok+1

Berdasarkan sifat transitif kita simpulkan
4(k + ane) < iithousand+ane

Mengapa 4k dapat berubah menjadi 2k ?


Berdasarkan sifat 3, kita diperbolehkan menambahkan kedua ruas suatu pertaksamaan dengan bilangan yang sama, karena tidak akan merubah nilai kebenaran pertaksamaan tersebut. Karena 4k < 2k benar, akibatnya 4k + four < 2g + 4 juga benar.

Darimana kita tahu, 4harus diubah menjadi 2yard

?


Perhatikan target. Hasil sementara kita adalah 2chiliad + four sedangkan target kita adalah 2m + 2k.
Untuk one thousand ≥ 5, maka 4 < 4k dan 4k < 2k adalah benar, sehingga 4 < twok juga benar (sifat transitif). Akibatnya 2k + 4 < iichiliad + 2k  benar (sifat iii).


Induksi matematika terbagi two yaitu umum dan kuat

Matematika induksi umum


Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau Southward(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk north = thou (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk due north = one thousand + ane (atau S(k + 1) benar).

A. Bilangan (termasuk jumlah deret)

  • Buktikan bahwa

    {\displaystyle 1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}}

     untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle S(n)=1+3+5+\cdots +2n-1=n^{2}}

Langkah pembuktian pertama:

untuk

{\displaystyle \ S(1)=1^{2}=1}

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle S(k)=1+3+5+\cdots +2k-1=k^{2}}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle S(k+1)=1+3+5+\cdots +2k-1+2(k+1)-1=(k+1)^{2}}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa

{\displaystyle k^{2}=1+3+5+...+2k-1}

 sesuai dengan pengandaian awal

{\displaystyle [1+3+5+\cdots +2k-1]+2(k+1)-1=k^{2}+2(k+1)-1}

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

{\displaystyle k^{2}+2(k+1)-1=(k+1)^{2}}

{\displaystyle \ k^{2}+2k+1=(k+1)^{2}}

, harap ingat bahwa

{\displaystyle (k+1)^{2}=k^{2}+2k+1}

{\displaystyle \ (k+1)^{2}=(k+1)^{2}}

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2 karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa

    {\displaystyle 1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}

     untuk setiap bilangan bulat positif adalah n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle S(n)=1+2+3+4+5+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}

Langkah pembuktian pertama:

untuk

{\displaystyle n=1}

, benar bahwa

{\displaystyle \ S(1)={\frac {1(1+1)}{2}}=1}

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle S(k)=1+2+3+4+5+\cdots +k={\frac {k(k+1)}{2}}}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle S(k+1)=1+2+3+4+5+\cdots +k+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa

{\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}=1+2+3+4+5+\cdots +k}

 sesuai dengan pengandaian awal

{\displaystyle [1+2+3+4+5+\cdots +k]+k+1={\frac {k(k+1)}{2}}+k+1}

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

{\displaystyle {\frac {k(k+1)}{2}}+k+1={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}

{\displaystyle (k+1)({\frac {k}{2}}+1)={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}

{\displaystyle (k+1)({\frac {k+2}{2}})={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}

{\displaystyle {\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}

{\displaystyle {\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}={\frac {(k+1)[(k+1)+1]}{2}}}

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk setiap bilangan bulat positif adalah n karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

B. Pertidaksamaan

  • Buktikan bahwa

    {\displaystyle 4n<2^{n}}

     untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 5!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle Due south(n)=4n<2^{n}}

Langkah pembuktian pertama:

untuk

{\displaystyle n=5}

, benar bahwa

{\displaystyle 4(five)<2^{5}}

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle Southward(k)=4k<2^{k}}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle S(k+ane)=4(yard+1)<2^{k+1}}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa

{\displaystyle 4k}

 sesuai dengan pengandaian awal

{\displaystyle 4(k+1)=4k+4}

 (karena 4 < 4k)

{\displaystyle =4k+4k}

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

{\displaystyle 4k+4k<2^{k+1}}

{\displaystyle 2(4k)<2^{k+1}}

{\displaystyle 2(2^{g})<2^{k+1}}

, ingat bahwa

{\displaystyle a^{m}a^{n}=a^{m+n}}

{\displaystyle ii^{m+1}<2^{k+1}}

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ five karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

C. Faktor (termasuk kali atau bagi)

  • Buktikan bahwa salah satu faktor dari

    {\displaystyle n^{3}+3n^{2}+2n}

     adalah three untuk semua bilangan bulat positif due north!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle S(n)=n^{3}+3n^{2}+2n}

Langkah pembuktian pertama:

untuk

{\displaystyle n=1}

, benar bahwa

{\displaystyle 1^{3}+3(1)^{2}+2(1)=6}

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle k^{3}+3k^{2}+2k}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)}

sekarang tunjukkan bahwa three adalah faktor dari

{\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)}

{\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1+3k^{2}+6k+3+2k+2}

{\displaystyle =(k^{3}+3k^{2}+2k)+(3k^{2}+9k+6)}

{\displaystyle =(k^{3}+3k^{2}+2k)+3(k^{2}+3k+2)}

karena 3 adalah faktor dari

{\displaystyle 3\cdot (k^{2}+3k+2)}

 dan 3 juga merupakan faktor

{\displaystyle k^{3}+3k^{2}+2k}

, maka three adalah faktor dari

{\displaystyle (k+1)^{3}+3(k+1)^{2}+2(k+1)}

. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian i dan 2.

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk 3 adalah faktor

{\displaystyle n^{3}+3n^{2}+2n}

 untuk semua bilangan bulat positif due north karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa 3 adalah faktor

    {\displaystyle 4^{n}-1}

     untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle S(n)=4^{n}-1}

Langkah pembuktian pertama:

untuk

{\displaystyle n=1}

, benar bahwa

{\displaystyle 4^{1}-1=3}

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle 4^{k}-1}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle 4^{k+1}-1}

sekarang tunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari

{\displaystyle 4^{k+1}-1}

{\displaystyle 4^{k+1}-1=4^{k+1}-4^{k}+4^{k}-1}

{\displaystyle =4^{k}(4-1)+(4^{k}-1)}

{\displaystyle =4^{k}3+(4^{k}-1)}

karena 3 adalah faktor dari

{\displaystyle 4k\cdot 3}

 dan 3 juga merupakan faktor

{\displaystyle 4^{k}-1}

, maka three adalah faktor dari

{\displaystyle 4^{k+1}-1}

. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian ane dan ii.

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk 3 adalah faktor

{\displaystyle 4^{n}-1}

 untuk semua bilangan bulat positif north karena memenuhi kedua langkah pembuktian

  • Buktikan bahwa

    {\displaystyle 5^{n}-1}

     habis dibagi four untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle S(n)=5^{n}-1}

Langkah pembuktian pertama:

untuk

{\displaystyle n=1}

, benar bahwa

{\displaystyle 5^{1}-1=4}

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle 5^{k}-1}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle 5^{k+1}-1}

sekarang tunjukkan bahwa

{\displaystyle 5^{k+1}-1}

 habis dibagi 4

{\displaystyle 5^{k+1}-1=5^{k+1}-5^{k}+5^{k}-1}

{\displaystyle =5^{k}(5-1)+(5^{k}-1)}

{\displaystyle =5^{k}4+(5^{k}-1)}

karena

{\displaystyle 5k\cdot 4}

 dan

{\displaystyle 5^{k}-1}

 habis dibagi 4, maka

{\displaystyle 5^{k+1}-1}

 habis dibagi four. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian 1 dan two.

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk

{\displaystyle 5^{n}-1}

 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

D. Faktorisasi

  • Buktikan bahwa 10 – y adalah faktor

    {\displaystyle x^{n}-y^{n}}

     untuk semua bilangan bulat positif n!

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle S(n)=x^{n}-y^{n}}

Langkah pembuktian pertama:

untuk

{\displaystyle n=1}

, benar bahwa

{\displaystyle x^{1}-y^{1}=x-y}

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle x^{k}-y^{k}}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}}

sekarang tunjukkan bahwa x – y adalah faktor dari

{\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}}

{\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}=x^{k+1}-x^{k}y+x^{k}y-y^{k+1}}

{\displaystyle =x^{k}(x-y)+(x^{k}-y^{k})y}

karena ten – y adalah faktor dari

{\displaystyle x^{k}\cdot (x-y)}

 dan ten – y juga merupakan faktor

{\displaystyle (x^{k}-y^{k})\cdot y}

, maka 10 – y adalah faktor dari

{\displaystyle x^{k+1}-y^{k+1}}

. Dengan menggabungkan hasil pada langkah pembuktian i dan 2.

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk x – y adalah faktor

{\displaystyle x^{n}-y^{n}}

 untuk semua bilangan bulat positif n karena memenuhi kedua langkah pembuktian

E. Barisan

Temukan rumus untuk penjumlahan berhingga berikut kemudian buktikan rumus tersebut dengan induksi matematika!

{\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2n(n+1)}}}

Persamaan yang perlu dibuktikan:

{\displaystyle S(n)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2n(n+1)}}}

Langkah pembuktian pertama:

untuk beberapa penjumlahan

{\displaystyle n}

 dari pertama, benar bahwa

{\displaystyle S(1)={\frac {1}{4}}={\frac {1^{2}}{2(1)(1+1)}}}

{\displaystyle S(2)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {4}{12}}={\frac {2^{2}}{2(2)(2+1)}}}

{\displaystyle S(3)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {9}{24}}={\frac {3^{2}}{2(3)(3+1)}}}

{\displaystyle S(4)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{40}}={\frac {16}{40}}={\frac {4^{2}}{2(4)(4+1)}}}

Langkah pembuktian kedua:

andaikan benar untuk

{\displaystyle n=k}

, yaitu

{\displaystyle S(k)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}={\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}}

, maka akan dibuktikan benar pula untuk

{\displaystyle n=k+1}

, yaitu

{\displaystyle S(k+1)={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)((k+1)+1)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa

{\displaystyle {\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}}

 sesuai dengan pengandaian awal

{\displaystyle [{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}+\cdots +{\frac {1}{2k(k+1)}}]+{\frac {1}{2(k+1)[(k+1)+1]}}={\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

{\displaystyle {\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)((k+1)+1)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}

{\displaystyle {\frac {k^{2}}{2k(k+1)}}+{\frac {1}{2(k+1)(k+2)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}

{\displaystyle {\frac {k^{2}(k+2)+k}{2k(k+1)(k+2)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}

{\displaystyle {\frac {k(k^{2}+2k+1)}{2k(k+1)(k+2)}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}

{\displaystyle {\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}={\frac {(k+1)^{2}}{2(k+1)[(k+1)+1]}}}

 (terbukti benar)

Kesimpulan:

Jadi,

{\displaystyle S(n)}

 benar untuk hipotesis induksi matematika karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

Matematika induksi kuat


Misalkan Southward(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga a ≤ b. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

Due south(a), S(a + 1), …, dan Southward(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar) Untuk sebarang bilangan bulat one thousand ≥ b, jika Due south(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka Southward(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat n ≥ a, Southward(n) benar. (Asumsi bahwa South(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k disebut sebagai hipotesis induksi. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa S(a), S(a + 1), …, S(1000) semuanya bernilai benar.)

A. Bilangan (termasuk jumlah deret)
B. Barisan
C. Teori

Induksi matematika


Contoh soal induksi matematika, pembahasan dan jawaban

1. Buktikan bahwa

2+4+6+8+10+12+14+...+2n=n^{2}+n

Bukti:

Pertama, kita harus buktikan nilai tersebut untuk n = i. Untuk due north = 1, nilai fungsi tersebut adalah1^{2}+1=2 (benar). Mengerti kan kenapa saya bilang benar?. ‘Benar’ maksudnya bahwa jika deret bilangan tersebut dijumlah sampai satu suku saja maka penjumlahannya akan bernilai 2 (dua). Kemudian kita cocokkan dengan rumus yang disebelah kanan yaitu n^{2}+n, ternyata memberikan hasil yang sama yaitu 2 (dua). Itulah maksud kata ‘benar’ itu gess !.

Kedua, kita buktikan untuk n = chiliad. sehingga deret penjumlahan di atas menjadi :

2+4+6+8+10+12+14+...+2n=n^{2}+n

2+4+6+8+10+12+14+...+2k=k^{2}+k

Untuk n = 1000 ini kita asumsikan bernilai benar.

Ketiga, kita buktikan untuk n = k + 1

2+4+6+8+10+12+14+...+2n=n^{2}+n

2+4+6+8+10+12+14+...+2k+2(k+1)=(k+1)^{2}+(k+1)

(k^{2}+k)+2(k+1)=(k+1)^{2}+(k+1)

ingat:

2+4+6+8+10+12+14+...+2k=k^{2}+k

(k^{2}+k)+2k+2=(k+1)^{2}+(k+1)

Kemudian kita tunjukkan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Yang menjadi acuan atau patokan adalah rumus yang disebelah kanan. Berarti yang disebelah kiri kita upayakan sama dengan ruas kanan. Sehingga :

k^{2}+2k+k+2=(k+1)^{2}+(k+1)

Agar ruas kiri berbentuk kuadrat seperti di ruas kanan, maka persamaan di ruas kiri kita atur. Kita tahu bahwa :

(k+1)^{2}=k^{2}+2k+1

sehingga :

k^{2}+2k+1+k+1=(k+1)^{2}+(k+1)

(k+1)^{2}+(k+1)=(k+1)^{2}+(k+1)

Sampai disini terlihat ruas kiri sama dengan ruas kanan dan bentuk rumusnya bersesuain saat kita memasukkan n = k.

Karena ketiga rumus penjumlahan di atas benar untuk ketiga langkah, maka dapat disimpulkan bahwa penjumlahan

2+4+6+8+10+12+14+...+2n=n^{2}+n

terbukti benar.

2. Buktikan two + four + six + … + 2n = n(north + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar
2 = 1(1 + one)
Jadi, P(one) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(m) benar yaitu
two + 4 + 6 + … + 2k = thousand(1000 + ane),    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + … + 2k + ii(k + 1) = (k + ane)(thousand + 1 + 1)

Dari asumsi:

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan uk+i :
2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(g + 1) = one thousand(k + 1) + 2(k + i)
ii + 4 + half dozen + … + 2k + 2(yard + ane) = (k + ane)(k + 2)
2 + 4 + half dozen + … + 2k + 2(chiliad + 1) = (k + 1)(thousand + 1 + ane)
Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

3.  Buktikan bahwa:31+39+47+55+...+(8n+23)=4n^{2}+27n

Bukti:

Pertama, untuk n = 1

Nilai penjumlahan deret tersebut adalah

4.1^{2}+27.1=4+27=31   (Benar)

Kedua,untuk north = k

31+39+47+55+...+(8n+23)=4n^{2}+27n

31+39+47+55+...+(8k+23)=4k^{2}+27k

Ketiga ,untuk n = k + 1

31+39+47+55+...+(8k+23)+(8(k+1)+23)=4(k+1)^{2}+27(k+1)

4k^{2}+27k+8(k+1)+23=4(k+1)^{2}+27(k+1)

4k^{2}+27k+8k+8+23=4(k+1)^{2}+27(k+1)

4k^{2}+8k+4+27k+27=4(k+1)^{2}+27(k+1)

4(k^{2}+2k+1)+27(k+1)=4(k+1)^{2}+27(k+1)

4(k+1)^{2}+27(k+1)=4(k+1)^{2}+27(k+1)

Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.

Karena langkahpertama,kedua,danketigaterpenuhi maka rumus tersebut terbukti.

4. Buktikan 1 + three + 5 + … + (2n − i) = due north2 benar, untuk setiap n bilangan asli

P(due north) :  1 + 3 + 5 + … + (2n − one) = northward2

Akan ditunjukkan P(north) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar
1 = 12

Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(yard) benar, yaitu
i + three + 5 + … + (2k − 1) = kii,    k ∈ Northward

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2k − ane) + (ii(k + 1) − ane) = (k + one)2

Dari asumsi:

1 + 3 + v + … + (2k − 1) = g2

Tambahkan kedua ruas dengan uthou+1 :
1 + 3 + v + … + (2k − one) + (ii(thousand + 1) − ane) = thou2 + (ii(k + 1) − 1)
ane + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + i) − ane) = k2 + 2k + ane
1 + iii + 5 + … + (2k − i) + (2(k + 1) − 1) = (chiliad + one)2

Jadi, P(grand + one) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(due north) benar untuk setiap n bilangan asli.

5. Buktikan 6northward + four habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(northward) :  sixn + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(due north) benar untuk setiap due north ∈ Northward.

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar
half dozenone + 4 = ten habis dibagi 5
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(1000) benar, yaitu
6k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + i) juga benar, yaitu
half dozenk+1 + 4 habis dibagi 5.

vig+ane + 4 = 6(61000)+ iv
6m+1 + 4 = 5(6thousand) + vithousand + 4

Karena 5(6k) habis dibagi 5 dan 6grand + 4 habis dibagi 5, akibatnya 5(vik) + vim + 4 juga habis dibagi five.
Jadi, P(one thousand + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa half-dozenn + four habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Bilangan bulata habis dibagi bilangan bulatb jika terdapat bilangan bulatm sehingga berlakua =bm
.
Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar karena terdapat bilangan bulat yard = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk thousand bilangan bulat”.

six. Buktikan northward3 + 2n habis dibagi 3, untuk setiap northward bilangan asli

Jawab:
P(n) :  northward3 + 2n = 3m, dengan m ∈

Z

Z

Akan dibuktikan P(northward) benar untuk setiap n ∈

N

N

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(1) benar
13 + 2.i = 3 = three.1
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(grand) benar, yaitu
kthree + 2k = 3m,    k ∈

Northward

N

Akan ditunjukkan P(thou + ane) juga benar, yaitu
(k + one)iii + 2(k + 1) = 3p,     p ∈

Z

Z

(thousand + 1)3 + 2(k + 1) = (one thousand3 + 3kii + 3k + 1) + (2k + two)
(1000 + 1)3 + 2(k + i) = (chiliadthree + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1)iii + 2(one thousand + one) = 3m + 3(ktwo + thousand + i)
(k + 1)3 + ii(chiliad + i) = 3(one thousand + ktwo + k + ane)

Karena chiliad bilangan bulat dan chiliad bilangan asli, maka (k + k2 + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (chiliad + k2 + k + 1), maka
(thousand + 1)3 + 2(k + one) = 3p, dengan p ∈

Z

Z

Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa n3 + 2n habis dibagi 3,  untuk setiap due north bilangan asli.

7. Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku

3n < 2n

Jawab :
P(due north) :  3n < 2due north

Akan dibuktikan P(northward) berlaku untuk northward ≥ 4, northward ∈

N

N

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(4) benar
3.4 = 12 < 24 = 16
Jadi, P(iv) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu
3k < iione thousand,    1000 ≥ iv

Akan ditunjukkan P(k + one) juga benar, yaitu
three(thou + 1) < 2chiliad+i

iii(k + 1) = 3k + 3
three(m + i) < 2yard + 3               (karena 3k < iithousand)
iii(k + i) < iiyard + 2k             (karena 3 < 3k < 21000)
iii(m + one) = ii(iik)
3(k + one) = 2k+i

Jadi, P(k + ane) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(northward) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

8. Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 5 berlaku

2n − 3 < 2n-2

Jawab :
P(northward) :  2n − iii < 2north-2

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk north ≥ v, northward ∈

Due north

N

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(five) benar
2.5 − 3 = 7 < 25-two = viii
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(m) benar, yaitu
2k − 3 < 2k-2 ,    k ≥ 5

Akan ditunjukkan P(grand + ane) juga benar, yaitu
2(k + i) − 3 < twok+1-ii

ii(k + one) − 3 = 2k + 2 − 3
2(k + i) − 3 = 2k − 3 + 2
two(k + one) − 3 < 2k-2 + 2         (karena 2k − 3 < 2grand-2)
2(k + i) − 3 < 2thou-ii + 2g-2     (karena 2 < 2k − 3 < 2thou-2)
2(thousand + ane) − 3 = 2(2k-2)
2(k + 1) − 3 = twothousand+ane-ii

Jadi, P(1000 + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli northward ≥ 5.

9. Buktikan untuk setiap bilangan asli north ≥ 2 berlaku

3n > 1 + 2n

Jawab :
P(n) :  threen > one + 2n
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk due north ≥ ii, n ∈

Due north

Northward

Langkah Dasar:

Akan ditunjukkan P(2) benar
32 = 9 > 1 + two.2 = five
Jadi, P(ane) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu
iii1000 > 1 + 2k,    k ≥ ii

Akan ditunjukkan P(chiliad + 1) juga benar, yaitu
iiik+one > 1 + 2(k + i)

3k+one = 3(iiiyard)
3k+1 > three(1 + 2k)               (karena 3k > 1 + 2k)
3k+1 = 3 + 6k
3k+1 > iii + 2k                    (karena 6k > 2k)
iiik+one = 1 + 2k + 2
3k+1 = ane + ii(k + 1)

Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(due north) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 2.

10. Buktikan untuk setiap bilangan asli n ≥ 4 berlaku

(n + one)! > 3northward

Jawab :
P(north) :  (n + ane)! > 3n

Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, northward ∈

N

North

Akan ditunjukkan P(4) benar
(4 + 1)! > 34

ruas kiri : 5! = 5.iv.3.two.1 = 120
ruas kanan : 3iv = 81
Jadi, P(i) benar

Langkah Induksi:

Asumsikan P(k) benar, yaitu
(k + 1)! > 3k ,   k ≥ 4

Akan ditunjukkan P(one thousand + 1) juga benar, yaitu
(g + one + 1)! > iiik+1

(k + i + 1)! = (g + two)!
(k + 1 + 1)! = (k + 2)(chiliad + ane)!
(grand + 1 + 1)! > (k + 2)(3k)            (karena (k + i)! > threek)
(k + 1 + 1)! > 3(3k)                     (karena k + 2 > 3)
(k + 1 + 1)! = threek+ane

Jadi, P(k + ane) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(northward) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

11. Menjumlahkan angka berpangkat dalam induksi matematika.
Buktikan bahwa:ane3 + 2three + 33 + … + n3 = ¼n2(n + i)ii

1. Tunjukkan kebenarannya untuk

due north=1
one3 = ¼ × 1two × 22

Benar.

ii. Asumsikan benar untuk n=k
13 + 23 + three3 + … + k3 = ¼one thousandtwo(k + ane)2

Benar (Asumsi!)

Jawaban:

Sekarang, buktikan kebenarannya untuk

“g+one”

13 + two3 + 3three + … + (k + 1)iii = ¼(k + 1)2(k + two)2 ?

Kita tahu bahwa

one3 + 23 + 33 + … + grandiii = ¼k2(k + 1)two

(asumsi di atas),
jadi kita dapat mengganti semua kecuali suku terakhir:

¼chiliad2(chiliad + 1)two + (k + ane)3 = ¼(k + 1)ii(k + ii)2

Kalikan semua suku dengan

4:

k2(g + 1)2 + 4(k + 1)three = (grand + one)ii(k + 2)ii

Semua suku memiliki faktor persekutuan

(k + i)2,
sehingga dapat dibatalkan:

k2 + 4(grand + one) = (k + 2)2

Dan sederhanakan:

ktwo + 4k + 4 = k2 + 4k + 4

Mereka sama!

Jadi memang benar.

Jadi:

ane3 + 23 + 33 + … + (k + 1)iii = ¼(m + 1)2(grand + 2)2

Benar.

12. Menjumlahkan angka ganjil untuk induksi matematika.

1 + iii + 5 + … + (2n−i) = n2

1.

Tunjukkan kebenarannya untuk

n=one

2.

Asumsikan benar untuk

northward=k

ane + 3 + 5 + … + (2k−one) = yard2

Benar

(Sebuah anggapan!)

Sekarang, buktikan kebenarannya untuk

“g+1”

1 + 3 + 5 + … + (2k−1) + (2(k+1)−ane) = (k+i)ii

?

Kita tahu bahwa

1 + 3 + 5 + … + (2k−one) = m2

(asumsi di atas),
jadi kita dapat melakukan penggantian untuk semua kecuali suku terakhir:

k2
 + (2(chiliad+1)−1) = (one thousand+ane)ii

Sekarang jelaskan sebagai berikut:

thou2 + 2k + 2 − one = k2 + 2k+1

Dan sederhanakan:

thou2 + 2k + one = ktwo + 2k + 1

They are the same! So it is truthful.

Jadi:

1 + 3 + 5 + … + (2(k+ane)−i) = (k+ane)two

Benar.

13. Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2.

Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah i2 = one. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah ane.

Terapkan induksi dengan mengandaikan p(n) benar, sebagai berikut:

i + three + 5 + … + (2n – 1 ) = north2

Selanjutnya, perlihatkan bahwa p (northward+1) juga benar yakni ane + iii + v + … + (2n – i) + (2n + ane) = (n + 1)2 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut.

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)

= [ane + iii + five + … + (2n – 1)] + (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (northward + 1)2

Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka full jumlah north buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2.

14. Buktikan i + 3 + 5 + … + (2n – ane) = due northii.

P(n) = one + iii + five + … + (2n – 1) = nii. Maka akan mampu menujukkan P(n) benar untuk tiap-tiap due north N.

Langkah Pertama

Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p(1) adalah benar 1 = 12. Jadi, p(one) adalah benar.

Langkah Induksi

Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika P(one thousand) adalah benar, yaitu:

i + 3 + 5 + … + (2k – one) = yard2, k North

1 + 3 + five + … + (2k – 1) + ii(k + ane) – 1) = (thousand + one)2

one + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2

one + iii + v + … + (2k – 1) + (two(k + 1) – 1) = k2 + (2(k + one) – i)

1 + iii + 5 + … + (2k – ane) + (2(m + 1) – 1) = grandtwo + 2k + one

ane + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(thou + 1) – 1) = (k + 1)two

Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa p(north) adalah benar bagi masing-masing northward dari bilangan asli.

15. Buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Sama seperticontoh soal induksi matematika dan jawabannya

yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi.

Langkah Awal

Langkah ini akan menunjukkan jika p(i) adalah benar. six1 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar.

Langkah Induksi

Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja p(k) adalah benar, maka half-dozenk + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, grand N. Hal ini akan menunjukkan p(k + ane) adalah juga benar yaitu  6one thousand+1 + 4 juga habis dibagi angka five.

half dozenk+ane + 4 = 6(6one thousand) + 4
sixk+i + 4 = 5(half-dozenk) + 6thou + four

Jika five(6k) telah habis dibagi five dan vik + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6thou) + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + i) adalah benar.

16. Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan due north N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = one/half-dozen n (north + 1) (n + 2).

Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi.

Langkah Awal

n = 1

12 = 1/6 one (1 + 1) (ane + 2)

1 = 1 adalah benar terbukti.

Langkah Induksi

n = k

ane + 3 + 5 + … + n(n + 1)/two = ane/vi n (northward + 1) (northward + 2) juga adalah benar.

Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n Due north berlaku seperti 1 + iii + 5 + … + n(due north + 1)/two = i/6 n (due north + ane) (northward + 2). Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya.

17. Buktikanlah jika iii2n + 22n

+ two benar-benar habis dibagi v.


Supaya bisa membuktikannya, lakukang langkah berikut:

Langkah Pertama

32(1) + 22(i)+2 = 32 + iifour = nine + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = yard)

32k + two2k

+ 2

Langkah Ketiga ( = k + 1)

= 3ii(k+1) + 22(2k+ii)

= 32k+2 + two2k+2+two
= 32(32k) + 22(22k+2)
= ten(iii2k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+ii
= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (three2k + 22k+two)

Diperoleh:

10 (32k) sudah habis dibagi five, v(22k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga habis dibagi 5.

Semua
bilangan bulat

tidak negatif northward, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 2 + 2one+ two2 + … + 2n = 2n+1 – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 2 = 20+1 – one. Jadi, sangat jelas bahwa ii = 1

Jika p(n) benar, yakni 2 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 2 + 21 + 22 + … + 2north = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 2 + 2one + 22 + … + 2n + 2n+i = (two + 2ane + 22 + … + twodue north) + 2n+1 = (2due north+i – i) + 2n+ane (hipotesis induksi).
= (2north+1 + twon+1) –
= (2.iinorthward+one) – i
= iin+2 – 1
= ii(northward+i)+1 – one

Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 2 + two1 + 2ii + … + 2north = 2northward+1

– 1.


Tentang Matematika

  • Tes Matematika Deret Angka Untuk Yang Pintar – Tomat, Timun Dan Paprika
  • Tes Matematika “Otak Atik Otak” Jumlah nomor yang harus didapatkan: 50 & Nomor yang diberikan: 2 8 nine fifteen twenty 40
  • Tes Matematika Pengukuran Berat: Sebuah botol & tutupnya berberat 110g. Berat botol 100g lebih berat daripada tutupnya. Berapa berat tutupnya?
  • Matematika Jika two=half dozen, iii=15, iv=24, 5=35, 6=48 Jadi 7=??
  • Tes Matematika Pemecahan Masalah Logika Visual Psikotes Roda Gigi X – Beserta Rumus, Soal & Jawaban Untuk Menghitung Panjang Lintasan Roda
  • Rumus Trigonometri Dan Contoh-Contoh Soal Beserta Jawabannya
  • Soal Rumus Kimia Hidrat (Air Kristal) Dan Jawabannya
  • Rumus-Rumus Lingkaran “Book” Tes Matematika Lingkaran

Bacaan Lainnya

  • Berapa Kecerdasan IQ Anda? Tes IQ Anda Disini
  • 10 Cara Belajar Pintar, Efektif, Cepat Dan Mudah Di Ingat – Untuk Ulangan & Ujian Pasti Sukses!
  • Tulisan Menunjukkan Kepribadian Anda & Bagaimana Cara Anda Menulis?
  • Top 10 Sungai Terpanjang Di Dunia
  • Kepalan Tangan Menandakan Karakter Anda & Kepalan nomer berapa yang Anda miliki?
  • Sistem Reproduksi Manusia, Hewan dan Tumbuhan

Unduh / Download Aplikasi HP Pinter Pandai

Respons“ohh begitu ya…” akan sering terdengar jika Anda memasang applikasi kita!

Siapa bilang mau pintar harus bayar?Aplikasi Ilmu pengetahuan dan informasi yang membuat Anda menjadi lebih smart!

  • HP Android
  • HP iOS (Apple)

Sumber: The Math Page, Regal Math, Oxford Math Center, Encyclopedia of Mathematics

Pinter Pandai “Bersama-Sama Berbagi Ilmu”

Quiz

 |

Matematika

|

IPA

 |Geografi & Sejarah|

Info Unik

|

Lainnya

|
Business organization & Marketing


2+4+6+8+…+2n Dengan Induksi Matematika Rumus Deret Tersebut Adalah

Sumber: https://pedidikanindonesia.com/2468-2n-dengan-induksi-matematika-rumus-deret-tersebut-adalah/

Baca :   Jarak Antara Titik Penalti Dengan Gawang Yaitu

Check Also

Contoh Soal Perkalian Vektor

Contoh Soal Perkalian Vektor. Web log Koma – Setelah mempelajari beberapa operasi hitung pada vektor …