Pelajaran Matematika : Pembuktian Rumus Volume Kerucut dengan Integral

142 Replies

Dengan menggunakan metode integral benda putar, maka kita dapat membuktikan bahwa rumus volume untuk sebuah kerucut adalah sebesar

V = 1/3 x Luas Alas x Tinggi

segitiga dan kerucut

Nah coba lihat deh gambar diatas !!
Yang sebelah kiri adalah gambar segitiga, dan apabila diputar mengelilingi sumbu X (coba deh bayangin) maka bentuknya akan menjadi seperti bentuk sebuah kerucut. ( udah bisa bayanginnya belum ?? :-) )
Ok, buat pembuktian bahwa rumus kerucut adalah :

V = 1/3 x Luas Alas x Tinggi ; Luas alas =  π x r2

Maka, coba ayo kita hitung misal seperti gambar yang diatas itu dengan jari2 sebesar 5 dan Tingginya 12.
Berarti hasilnya adalah :

V = 1/3 x( π x r2 ) x Tinggi
V = 1/3 x π x 52 x 12
V = 100 π

Dengan perhitungan biasa kita bisa dapat nilai dari Volume kerucut adalah 100 π.
Nah, sekarang coba kalo kita hitung dengan rumus “Integral Benda Putar”

rumus integral benda putar

Dengan rumus ini, maka mari kita cari tahu dulu persamaan garis yang membentuk segitiga tersebut.

garis segitiga

Kita ketahui bahwa persamaan garisnya adalah
5X + 12 Y = 60
berarti :
Y = 5 – 5/12 X
lalu jika dijadikan kuadrat (karena pada rumus integral yang dibutuhin Y2), maka :
Y2 = 25 – 50/12 X + 25/144 X2

Lalu kita masukkan ke persamaan integral diatas
V = π 0∫12 [ 25 - 50/12 X + 25/144 X2 ] dx << cara integralinnya di-skip aja yah?? udah bisa kan ?? :D
V = π [ 25 X - 25/12 X2 + 25/432 X3 ]0 12
V = π { [ 25 (12) - 25/12 (12)2 + 25/432 (12)3 ] – [ 25 (0) - 25/12 (0)2 + 25/432 (0)3 ] }
V = π { [ 300 - 300 + 100 ] – [ 0 - 0 + 0] }
V = π 100
V = 100 π

gmn ?? sama kan hasilnya ?? :o
Masih ada yang kurang jelas atau gimana ??
Silahkan bertanya, jangan malu2 yah !! :D

142 thoughts on “Pelajaran Matematika : Pembuktian Rumus Volume Kerucut dengan Integral”

  3. Bara Sukaton

    Aku kan juga belajar integral nih dulu waktu kuliah semester satu, sebenarnya angka 1/3 itu didapatnya memang dari integral. Aku coba jelasin ya,

    Lihat penjelasan diatas yang bagian
    V = π { [ 25 (12) - 25/12 (12)2 + 25/432 (12)3 ] – [ 25 (0) - 25/12 (0)2 + 25/432 (0)3 ] }

    perhatikan, 25 adalah r2 sedangkan 12 adalah t (tinggi). Maka rumus tersebut menjadi…

    V = π { [ r2(t) - r2/12(t)2 + r2/432 (t)3 ] – 0}
    V = πr2t { [ 1 - 1/12(t) + 1/432(t)2 ]}

    Lihat sudah mulai kliatan kan rumusnya? bagian yg disebelah kanan itulah yang menjadi 1/3, masukkan nilai 12 pada bagian kanan dan bagian kanan akan terlihat seperti ini,

    V = πr2t { [ 1 - 1/12(12) + 1/432(12)2 ]}
    V = πr2t { [ 1 - 1 + 1/3 ]}
    V = πr2t (1/3)

    jadilah rumus volume kerucut .. :-)

    Reply ↓
  5. fany

    EHM…EHM..BIZA NGA YUCH MEMBUKTIKAN RUMUS VOLUME KUBUS LEWAT VOLUME BALOK???????????????????KLO bz,,,jelazin dunksssssssssssss,,,,,,plizsssssssssssssss.thx

    Reply ↓
  6. sangdedi Post author

    pada dasarnya volume itu adalah “isi” dari suatu bangun ruang
    jadi hakikatnya adalah luas dari satu bangun bidang lalu dibentuk untuk menyerupai bangun ruang yang dimaksud..
    seperti contoh adalah tabung
    tabung adalah bagaikan lingkaran yang kita tarik keatas.. sehingga rumus volumenya adalah luas lingkaran tersebut dikali seberapa tinggi kita menariknya
    begitu juga dengan kubus dan balok, yang memiliki bangun bidang alasnya adalah persegi empat, maka sama hakikatnya dengan tabung..
    yaitu luas alasnya dikali tingginya
    untuk balok :
    dikarenakan alasnya adalah persegi panjang, maka rumus volumenya adalah “luas persegi panjang” dikali “tinggi”
    luas persegi panjang = P x L

    kemudian untuk kubus :
    dikarenakan alasnya adalah persegi, maka rumus volumenya adalah “luas persegi” dikali “tinggi”
    luas persegi = Sisi x Sisi
    dan tinggi dari kubus juga = Sisi dari kubus
    maka rumus volumenya adalah Sisi x Sisi x Sisi
    terima kasih
    kalo blm jelas silahkan tanya lagi yah :-)

    Reply ↓
  7. fany

    btw,,thx yuch.
    mas,,tlg muatin jaring-jaring dunks???coz aku mo ngeprint.ada tgz nech.jaring2 bola,kerucut n tabung.thx y maz

    Reply ↓
  9. dmathholic writing

    dari integral agak repot kalau sama siswa tuch…

    karena kerucut adalah limas, lebih baik pembuktian nya dari rumus limas. saya rasa hasilnya sama.

    tapi nice post lah. soalnya aq lom bisa ngetik matematika di postingan aq susah… boleh bagi2 ilmu..

    thanks.

    Reply ↓
  15. reza adityanto

    trima kasih bang dengan membaca blog anda saya jadi lebih bersemangat belajar matematika , besok saya ulangan doakan saya berhasil yaaa :P :!: :!: :!:

    Reply ↓
  22. salma

    duh pngen nnya niih ,
    :lol:
    dik : kerucut mempunyai selimut dengan luas 1.570 cm2
    dan garis pelukis 25 cm. hitung panjang jari” alas dan luas alasnya .
    :roll:

    makasiih yaa sebelum.yh

    Reply ↓
  23. sangdedi Post author

    rumus luas selimut kerucut = π . r . p
    π = phi (22/7 atau 3.14)
    r = jari2
    p = panjang garis pelukis

    jadi gampang dong yah ?? :o
    1570 = 3.14 x r x 25
    r = 20 cm (ngerti kan ?? :-) )

    trus buat luas alas.. kan alas kerucut berupa lingkaran kan :o
    berarti sama aja kayak kita hitung luas lingkaran dengan jari2 yang barusan kita dapetin itu
    jadi :
    luas alas kerucut = π . r^2 (phi r kuadrat)
    luas alas kerucut = 3.14 x 20^2
    luas alas kerucut = 3.14 x 400
    luas alas kerucut = 1256 cm2

    ngerti gak ?? :-)

    Reply ↓
  25. daniel

    mas saya ada tugas,tentang pembuktian volum bangun ruang sisi lengkung(kata guru saya asal-usulnya)tapi yang mudah dimegerti aja ya mas :-) ,soalnya saya masih smp :-) secepatnya ya mas,terima kasih,maaf mas kalau terlalu bnyak minta :D

    Reply ↓
  26. dimaz

    jaelah ribet bgt tuh kyknya..
    pake bahasa ank sekolahan aja dong.
    itu kk kok bisa tau gitu sihh.??cara belajar yg enak gmn seh buad mtk!!??
    cz pel yg aq suka ( MTK ) .!
    ^^

    Reply ↓
  27. sangdedi Post author

    @ maria : ada koq, kerucutnya diisi dengan air, habis itu diukur volume air yang masuk berapa liter.. ketemu deh volume kerucut :lol:
    @ daniel : nah itu dia, saya juga udah lupa gimana buktiin rumus kalo gak pake integral, soalnya gara2 dulu SMA sama kuliah pakenya integral jadi ingetnya itu.. hehe :D
    @dimas : kalo belajar math mah saya dulu gak pernah dihapal, tapi dipahamin.. jadi lebih ngerti :wink:

    gudluck all.. maaf saya belum bisa bantu.. mungkin ada pertanyaan lain yang bisa saya jawab ??

    Reply ↓
  42. sangdedi Post author

    @hoirul : itu sih (menurut saya :D ) merupakan definisi dari luas, dimana persegi panjang (atau segi empat) merupakan bentuk paling sederhana dari suatu bangun, sehingga mudah banget untuk dijadikan pemodelan dari rumus luas
    jadi intinya Luas = Pj x Lb adalah definisi dari suatu luas itu sendiri, tidak ada penjelasan khusus (andai ada, berarti saya yang belum tahu :D ) mengapa seperti itu, karena itu memang definisi dari suatu Luas

    CMIIW :-)

    Reply ↓
  46. Goosebumps

    mau nanya neh, ada yg bisa bantu ga
    kalo mau menghitung isi dari tabung yg posisinya tidur atau melintang, tapi isinya tidak presisi 50% atau 25% , ada yg tau ga cara ngitungnya
    kalo saya misalkan: sebuah tabung dengan jari2 10, tingginya 50, didalamnya terdapat cairan atau air dengan ketinggian 17, untuk menghitung volume air yg ada di dalam tabung kan cukup sederhana kalau posisi tabungnya tegak atau berdiri
    kalo ga salah: Vair= π*10*10*50*17/50
    nah yg saya bingung, apa bila posisi tabung dari awal tiduran / mendatar
    kemudian didalamnya ada air dengan ketinggian misalnya 7, dengan jari2 lingkaran 10 dan panjang tabung 50, gimana caranya menghitung volume air didalam tabung tersebut
    thanks b4

    Reply ↓
  47. topik

    wah…bagus sekali, tapi kl mnurut sy itu bkn pembuktian, kl pmbuktian sperti itu kurang diterima oleh matematikawan krn anda mnggunakan pmbuktian induktif. dan matematika hanya menerima pembuktina deduktif. :!:

    Reply ↓

  53. Pingback: Pembuktian Rumus Volume Kerucut dgn Integral « Hirtanto

  56. ebit

    :P
    :D :-) :( :o 8O :? 8) :lol: :x :P :oops: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :| :mrgreen:
    woi, lu bgo ga ??
    masa saya ga tw ap yg lu publish..
    bkin donk yg bner biar gu bsa baca, gu kn org buta..

    Reply ↓
  62. tommy

    Kak masih aktif kan situs ini??
    maw nanya gimana cari rumus keliling selimut kerucut dan rumus garis pelukis…
    tolong dbales kak…
    thanks..

    Reply ↓
  63. sangdedi Post author

    @tomi: masih dong :D
    rumus garis pelukis =>
    r^2 + t^2 = s^2 (jari-jari kuadrat + tinggi kerucut kuadrat = garis pelukis pelukis kuadrat)
    nah, itu kayak rumus pitagoras kan ?? :o
    kalo keliling selimut kerucut ?? yakin soalnya kayak gituh yah ??
    berarti = keliling lingkaran + 2 garis pelukis kerucut :wink:
    ngerti gak ??

    Reply ↓
  66. nugie

    minta tolong bagaimana ngitung vol silinder dalam posisi tidur?

    rumusnya yang sederhana y….

    misal tinggi 3 meter dan diameter 90 cm

    butuh bgt ni

    tks

    Reply ↓
  68. nugie

    begini mas,langsung ke permasalahan aja. saya mau membuat tanda pada tangki BBM yang berbentuk silinder tapi posisinya tidur. tanda itu berfungsi untuk mengetahui vol tangki pada ketinggian x cm. tangki ini mempunyai tinggi 350 cm dan diameter 140 cm. kalau dulu kami membuat tanda dengan cara yang sederhana, yaitu dengan menuang ember kapasaitas 10 liter kemudian kami garis (tangki sudah dipasang dengan selang duga yang transparan). sapa tau ada rumus yang membuat pekerjaan ini menjadi lebih mudah, daripada menung ember 10 liter sampai tangki 5 ton penuh :-) please y mas….

    Reply ↓
  70. nugie

    ok deh,,aq pelajari dulu..moga-moga aja bisa memecahkan masalahku..
    klo lum bisa aq nanya lgi
    jgn bosan y..
    tks y… :o

    Reply ↓
  72. rhennie

    maaf aq dpt soal nih…trus aq bingung cara mengerjakannya..
    mohon bantuannya..

    soal : cari ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat ditempatkan didalam sebuah kerucut lingkaran tegak yang jari2nya 9cm dan tingginya 12cm..?????

    mohon dibalas secepatnya..
    trimakasih

    Reply ↓
  79. Dika

    kaka akuu mo numpang tanyaa
    kalo semisalkan daa selembar karton berbentuk setengah lingkaran yang diameternya 20cm
    trus, kalo di suruh cari jari jari alas kerucutnya gimana ?

    kann luas jaringnya g di ketaui
    kalopun mau nyari, sudut juringnya juga gatau

    gimana dong ?
    SOMEBODY HELP ME :cry:

    Reply ↓
  80. Nadya

    kak kok nggakmudeng sich. bingunggg… :-) yang rumus integral benda berputar itu di ajarin di SMP ato SMA ato perguruan tinggi ?! hehehe
    makasih .. :o

    Reply ↓
  82. mutianajmi

    aduh tlong bantu dong plis ini lagi ngebut banget soalnya, harus di kumpulkan besok .
    tolong jelasin tentang pembuktian rumus volum kerucut tapi gak pake integral segala .
    saya kurang memahami matematika jadi tolong jelasin lebih rinci yah :!:

    Reply ↓
  83. Falah

    adakah cara pembuktian rumus kerucut tanpa integral ?? pliss dong kalo ketemu berarti dewa :!: matematika. soalnya aq khan baru SMP, mana ngerti ama yang namanya integral

    Reply ↓
  84. JelitaPriskila

    rumus volume kerucut berkunjang/berjungkang/berjuntang ato apalah ituu? gimana sih rumusnya? yg misalnya ember,itukan pakek rumus kerucut,nah rumusnya apasiih? :?:
    THX before ya :)

    Reply ↓
  86. Nurul Fauzi

    mas….ajarin integrall lah….kasih aku rumus dasarnya dan kasih contoh soalnya…tapi dari yang paling mudah biar aku mudeng…. :o

    Reply ↓
  87. Nurul Fauzi

    :o mas ajarin aku integrall ya…
    dari rumus dasarnya sampe contoh soal …tapi soalnya yang gampang dulu byar aku medeng….oke….trima kasih sebelumya….. :!:

    Reply ↓
  93. Reni

    Ass…
    Bagaimana caranya mencari volume kerucut terpenggal ea?????
    dulu pnah mdapatkan materi itu pd waktu SD…stlh 10 th mlh g brbekaz nich… :D
    syukron katsir…

    Reply ↓
  94. sangdedi Post author

    @reni : perasaan pertanyaan ini pernah saya jawab dimana gitu
    @benz : A^2 + B^2 = C^2
    @febry : pakai rumus kerucut standar aja phi . r^2 . T
    @halimah : coba lihat di tulisan saya yang lain perasaan sudah saya buat :wink:
    @jelita : sudah ada pertanyaan yang sama di tulisan saya yang lain.. tolong cek yang disana yah :-)

    Reply ↓
  108. mawan

    Wah, si;p banget!
    Makasih ya, terjawab sudah pertanyaanku
    Tapi ada pembuktian secara sederhana yang dapat diterima oleh anak SMP ga?
    Tolong, ya.
    Makasih

    Reply ↓
  110. muvit

    mas mw nanya nih…
    saya mau merancang sebuah bangun ruang berbentuk kerucut, yg nantinya akan saya isi material berupa abu batubara, kapasitas abu batubara saya tentukan sebesar 10,5 m3.

    yg mau saya tanyakan, bagaimana menghitung luas permukaan kerucut, (termasuk tinggi dan diameternya) dengan kapasitas tersebut.

    terimakasih, wassalam

    Reply ↓
  114. erna

    wah rumit juga lu pakek integral,,, knpa gak pake tabung z,,, :( :cry:
    biar lbih bisa dimngerti ama anak skolahan,,,, :-)
    cma ksih saran,,,,, C_U :lol: :lol: :lol: :lol: :D :arrow:

    Reply ↓
  115. Laurent

    kk klo bisa tolongin dong cariin titik sudut,sisi,sama kerangka bangun ruang pyramida,bola,cylinder plizzzzzzzzzzzzzzzzz

    Reply ↓
  119. ramha

    :D hhee,, bru ngliet nih.. tpii bagus bged buat belajar :) boleh kan kalo aku kesulitan nanya disini ?? :-) :D

    Reply ↓
  121. afif

    bos tanya nih, kalo kerucut itu kan titik puncaknya kan sejajar ama titik tengah alasnya, nah kalo titik puncaknya itu sejajar ama salah satu tepinya itu masih masuk kerucut ta kalo hitung volumenya????

    Reply ↓
  124. reva

    mau tanya, klo cuma diketahui tinggi sm sm garis pelukis kerucut, hitung kuas selimutnya bagaimna ? terimakasih :o

    Reply ↓
  126. algorithm

    :lol: :lol:
    thank U nih, penjelasan tentang ni mang lg saya cari buat mata kuliah seminar….

    skali lg thank u yah..

    add fb saya yah => suhendra new algorithm

    Reply ↓
  129. novita veronica

    klo cara menghitung tinggi kerucut gimana??? aq susah mengerti kalo soal menghitung tinggi kerucut. aq msih smp nih,
    makasih :-)

    Reply ↓
  131. ANITAPUTRI

    Maaf yah…, aku orang baru. Tapi kalau menurut saya, sederhana aja bagaiman membuktikan 1/3 itu dari mana. Ambil aja bangun ruang berbentuk kerucut yang berongga. Lalu isi dengan air atau benda yang berupa serbuk sampai penuh. Setelah itu, air atau serbuk dari kerucut dimasukkan ke dalam tabung yang alas dengan tingginya sama dengan kerucut tadi. Lakukan itu sebanyak 3 kali. Maka tabung akan terisi penuh sebanyak 3 kali isi kerucut. Berarti VOLUME KERUCUT = 1/3 X VOLUME TABUNG.

    Reply ↓
  135. dhinyhardianty

    mas,gimana sih cara menentukan tinggi kerucut ? Jika diketahui r alas=10cm panjang garis pelukisnya 24cm dan π=3,14 ?
    Tolong dijawab secepatnya,soalnya lagi butuh banget nih :idea: mas,gimana sih cara menentukan tinggi kerucut ? Jika diketahui r alas=10cm panjang garis pelukisnya 24cm dan π=3,14 ?
    Tolong dijawab secepatnya,soalnya lagi butuh banget nih :o mas,gimana sih cara menentukan tinggi kerucut ? Jika diketahui r alas=10cm panjang garis pelukisnya 24cm dan π=3,14 ?
    Tolong dijawab secepatnya,soalnya lagi butuh banget nih :idea: mas,gimana sih cara menentukan tinggi kerucut ? Jika diketahui r alas=10cm panjang garis pelukisnya 24cm dan π=3,14 ?
    Tolong dijawab secepatnya,soalnya lagi butuh banget nih

    Reply ↓
  139. Andre_Lpu

    pada OOn Semua :idea: :idea: :idea: :idea:

    Lihat Ni

    Prisma

    Rumus volume = luas alas * tinggi
    [sunting] Balok

    Rumus Volume Balok = panjang x lebar x tinggi

    luas permukaan balok = 2(pl)+2(lt)+2(pt)

    [sunting] Tabung

    Rumus Volume = luas alas * tinggi

    = π * r2 * tinggi

    [sunting] Prisma segitiga

    Rumus = luas alas * tinggi

    = 1/2 × (alas segitiga × tinggi segitiga) × tinggi prisma

    [sunting] Kubus

    Rumus = sisi pangkat 3
    [sunting] Limas (piramida)

    Rumus = 1/3 * volume prisma

    = 1/3 * luas alas * tinggi

    [sunting] Limas persegi

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * luas persegi * tinggi

    [sunting] Limas segitiga

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

    [sunting] Kerucut

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * π * r2 * tinggi

    Prisma

    Rumus volume = luas alas * tinggi

    Balok

    Rumus = luas alas * tinggi

    = panjang * lebar * tinggi

    Tabung

    Rumus = luas alas * tinggi

    = π * r2 * tinggi

    Prisma segitiga

    Rumus = luas alas * tinggi

    = 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

    Kubus

    Rumus = sisi * sisi * sisi

    = s3

    Limas (piramida)

    Rumus = 1/3 * volume prisma

    = 1/3 * luas alas * tinggi

    Limas persegi

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * luas persegi * tinggi

    Limas segitiga

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

    Prisma

    Rumus volume = luas alas * tinggi

    Balok

    Rumus = luas alas * tinggi

    = panjang * lebar * tinggi

    [sunting] Tabung

    Rumus = luas alas * tinggi

    = π * r2 * tinggi

    [sunting] Prisma segitiga

    Rumus = luas alas * tinggi

    = 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

    [sunting] Kubus

    Rumus = sisi * sisi * sisi

    = s3

    Limas (piramida)

    Rumus = 1/3 * volume prisma

    = 1/3 * luas alas * tinggi

    Limas persegi

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * luas persegi * tinggi

    Limas segitiga

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * 1/2 * alas segitiga * tinggi segitiga * tinggi prisma

    Kerucut

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * phi * r2 * tinggi

    Kerucut

    Rumus = 1/3 * luas alas * tinggi

    = 1/3 * phi * r2 * tinggi

    ini baru benar :P :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: :lol: 8) 8) 8) 8) 8) :!: :!: :!: :!: :!: :!: :!: :!: :!: :( :-) :P

    Reply ↓

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>