Pelajaran Matematika : Pembuktian rumus volume bola dengan integral

108 Replies

Postingan ini ditujukan untuk para komentator di postingan saya sebelumnya, semoga dengan ini kalian semua bisa lebih mengerti :-)

Disini saya akan coba menjelaskan tentang mengapa rumus volume bola adalah 4/3 π r3 :wink:
Coba terlebih dulu mari kita perhatikan rumus dari luas permukaan bola..

Luas Permukaan Bola = 4. π. r2 ;dimana r adalah jari-jari bola

Dengan Metode Integral, kita dapat membuktikan bahwa rumus volume bola adalah  4/3 π r3
Perlu diketahui bahwa Volume bola merupakan Integral dari luas permukaan bola, atau dengan kata lain luas permukaan bola merupakan differensial atau turunan dari volume bola.

Mari kita buktikan bersama ( kalo bener tolong di-rating five-star yah postingan yang ini :D )

Volume Bola = ∫ Luas Permukaan Bola

Volume Bola = ∫ 4. π. r2 dr

Volume Bola =  4. π. ∫ r2 dr

Volume Bola =  4. π. ( 1/3 r3 )

Volume Bola =  4/3 π. r3 <<  TERBUKTI :!:

Semoga dapat dimengerti dan membantu kamu semuanya :-)
Yang masih gak ngerti silahkan tanya yah, jangan malu2 :D
Kalo bisa tolong dikomentarin dan dirating yah postingan saya ini :lol:

108 thoughts on “Pelajaran Matematika : Pembuktian rumus volume bola dengan integral”

  1. Coolboy

    mas emang, volume benda ruang yang bisa dicari pake integral cuma kerucut,tabung,bola atau benda alasnya lingkaran doang. bls dong. makasi ya dah dibls sebelumnya. postingannya da aq kasi bintang lima tuh.

    Reply ↓
  2. sangdedi Post author

    enggak koq mas..
    bisa bentuk apa aja dong, mas tau gak sebenernya HAKIKAT dari sebuah integral itu apa ??
    kenapa ada yang disebut Differensial (Turunan) trus kenapa ada yang disebut Integral ??
    hayooo.. kenapa hayoo :roll:
    ntar kalo banyak yang mau saya bikinin postingan buat bahas masalah ini deh, soalnya bahaya banget kalo orang bisa ngerjain integral tapi mereka gak tau hakikat dari integral itu sendiri apa..
    btw makasih yah untuk komen dan ratingnya :D
    maaf baru bisa dibales, soalnya lagi sibuk skripsi dan tugas :|

    Reply ↓
  3. rany

    MET sore ka qyu mu tanya nieh kalau didefinisikan kerucut n bola itu apa cih? mohon jawabannya yach cekarang alx lagi ngerjain tgs nih! :wink: please ya ka!!!! :D
    sebelum n sesudahnya trims yua :-)

    Reply ↓
  4. sangdedi Post author

    wah maaf rany saya baru sempet jawab sekarang.. moga2 blm telat yah :(
    Bola = Sebuah bangun ruang yang merupakan hasil dari sebuah lingkaran yang diputar sejauh 360o
    Kerucut = Sebuah bangun ruang yang memiliki alas lingkaran, dan atap yang meruncing.
    Kira2 begitu, tapi itu berdasar pengertian aq yah :D
    terima kasih :-)

    Reply ↓
  5. Agung

    Maaf sebelumnya, saya koq kurang setuju. Kalau memang prosedur seperti itu bisa dipakai untuk membuktikan persamaan luas dari persamaan volum, bagaimana dgn persamaan volume ellipsoid, persamaan volumnya adalah 4/3 pi a^2 b, apakah bisa diturunkan ke bentuk persamaan luasnya? Terima kasih sebelumnya, maaf kalau saya ada salah statement atau konsep.. Maklum saya juga masi belajar..

    Reply ↓
  9. coecy

    maksudnya gini mz,,,luas permukaan bola kan merupakan differensial atau turunan dari volume bola??? bisa gak maz jelasin kok bisa gitu??? trus mw tanya lagi pembuktian rumus Luas & Volume Tembereng bola gmana zaaa!!! :o

    Reply ↓
  11. coecy

    tapi klo bisa maz kasih jawabannya jangan lama2,… coz 1mggu lagi maw dibuat %tasi nich,,, matur suwun looch… :D

    Reply ↓
  13. sangdedi Post author

    ok, niyh yah coecy.. saya coba jawab pertanyaan satu dulu :

    “Kenapa luas permukaan bola merupakan turunan dari volume bola ??”
    Nah, pertanyaan ini bisa kita balik kayak begini kan ??
    “Kenapa volume bola merupakan integral dari luas permukaan bola ??” :o

    Jadi kalo menurut saya begini, (menurut saya doang loh yah :D )
    Kan, yang namanya integral itu merupakan jumlah dari bagian2 kecil yang kita gabung2 sampe menjadi bagian yang besar (coba lihat deh lambang integral, mirip tanda S kan ?? emang itu aslinya cuma tanda S yang dipanjangkan, artinya SUM << Jumlah )
    Nah, jadi kalo kita lihat luas permukaan bola, itu kan berarti seluruh bagian yang mengelilingi bola kan yah ?? (tapi bukan isinya loh, cuma kayak kulitnya aja)
    ibaratnya buah jeruk, luas permukaan bola tuh sama kayak luas KULIT jeruk, nah sedangkan Volume Bola itu ISI keseluruhan dari si jeruk tersebut :-)

    Misal kita mau ngukur volume bola yang diameternya 12 cm.
    Nah, integral dipake buat ngejumlahin LUAS PERMUKAAN BOLA yang diameternya (mendekati) NOL sampe LUAS PERMUKAAN BOLA yang diameternya = 12 cm.
    begitu.. kira2 jelas gak ??? :o

    Reply ↓
  17. coecy

    mz sangdedi,.. sebelume mkcih jawabannya!!! q da yang ingin tak tanyakne lagi leh g?? nie da soal : LUAS TEMBERENG BOLA = 2 x phi x r x t dan
    VOLUME TEMBERENG BOLA = 1/3 x phi x t x t (3r – t)
    bisa gak pean jelasin pembuktian rumus itu ??? makasih

    Reply ↓
  18. coecy

    mz,.. klo bisa secepatnya za!!! soalnya akhir pekan ini dikumpulkan harus selesai,…. makasih buanyak loch :o :!:

    Reply ↓
  19. Syati S

    Mas sang dedi tolong dijawab yaa kenapa hasil dari Volume Bola = 4. π. ∫ r2 dr menjadi Volume Bola = 4. π. ( 1/3 r3 )
    pertanyaan saya 1/3 itu dari mana, bisa dirinci nga? saya baru mau belajar lg, tks .

    Reply ↓
  20. sangdedi Post author

    @ coecy : sebentar yah, saya lagi mengerjakan pertanyaan anda, agak butuh kerja keras niyh :D
    @syati : oh, itu dari integral r2 terhadap dr
    sama kayak kalo kita integralin x2 pasti hasilnya kan 1/3 x3 kan ?? :o

    Reply ↓
  21. aming

    halo mas “sangdedi”
    saya mau tanya.. (menyimpang nih dari bola2 an)..
    kenapa kok f(x)=u(x).v(x) berarti f’(x)=u’(x)v(x)+u(x).v’(x) ?
    thanks before…

    Reply ↓
  23. Syati S

    Mas sangdedi maaf yah tanya lg, untuk integral itu hasil x2 pasti hasilnya 1/3 x3 kan ??bisa dirinci ngga hasil 1/3×3. tks.maksudnya cara mengintegralkan secara rincinya gimana?.tks.

    Reply ↓
  24. Syati S

    Mas sangdedi saya mau tanya ttg integral vol kerucut pada 5X + 12 Y = 60 menjadi Y = 5 – 5/12 X tolong dirinci, trus V = π 0∫12 [ 25 - 50/12 X + 25/144 X2 ] jangan diskip donk, soalnya kalo yang baru belajarkan susah. Trims.

    Reply ↓
  25. sangdedi Post author

    Thx mba Syati atas pertanyaannya,
    1. X^2 menjadi 1/3X^3 itu teknik integral dasar banget.. pada intinya peng-integral-an adalah proses penjumlahan bagian2 kecil hingga menjadi besar dengan aproksimasi (coba lihat tulisan saya mengenai konsep dasar differensial)
    2. 5X + 12Y = 60 –>> 12 Y = 60 – 5X –>> Y = (60 – 5X)/12
    mengerti gak ?? :-)
    hmm.. kalo yang integral V = π 0∫12 [ 25 - 50/12 X + 25/144 X2 ]
    bisa tolong lebih rinci gak jelasnya dibagian mana ??
    soalnya semua yang saya skip adalah bagian dari integral dasar (sombong yah :D :D )

    Reply ↓
  30. Giza

    Ka’,Kalu Rumus yang laen tentang Rumus volum bola da lagi gug??? :cry: Soalnya,aku di suruh cari rumus yang aneh aneh gitcu.Kaka’ kan pinter tuch rumus”. :oops: Tolong buatin dunkz!!!Please…. :cry: :cry: :cry: .Guruku tuch suka yang aneh aneh yaa jadi sebel… :x .Thanks e0…

    Reply ↓
  33. C

    Bisa gak membuat artikel tentang rumus permukaan bola. Bagaimana bisa ketemu rumus seperti itu? Pembuktiannya secara sederhana dan matematis. THX

    Reply ↓
  37. fuad

    sy mau tanya soal integral
    integral 1 sampai 0 f(x) dx = -2 dan integral 2 sampai 1 f(x) dx = 3 maka integral 0 sampai 2 f(x) dx = ….

    Reply ↓
  38. the troublemaker

    eh eh eh
    kaka ko tau sih ??
    aku mah enggak looohhhh………….

    dri mna caranya tuh??????????????????????????????????????????????
    saluttttttttttttttttttttttttt :!: :!: :oops: :oops: :lol: :lol:

    Reply ↓
  44. Monox D. I-Fly

    @Coolboy:
    Nggak cuma benda yg alasnya lingkaran koq,,
    Kan ada jg rumus integral buat benda yg penampangnya nggak berbentuk lingkaran,,\
    & aq pernah pake rumus itu buat membuktikan kl volume kubus itu s^3,,

    Reply ↓
  46. Dila

    mas tolong dong :( , ini soal MTKnya nyebelin :x
    dah di cari gk ketemu2 pusing d :cry: :cry: :cry: :cry:
    Ini soalnya :
    1. Volume sebuah bola 38896 cm3. phi = 22 per 7. Luas kulit bola tersebut adalah?
    2. Luas selimut sebuah tabung 1320 cm2 dan tingginya 15 cm. Volume tabung adalah?

    Reply ↓
  48. ol

    mas dedi, mau nanya dunk, adaga rumus luas dan volume tembereng ellipsoid (bentuk 3 dimensinya ellips bukan ya ini??? :roll: )

    mksh bnyk ya atas jwbn nya… ^^

    Reply ↓

  50. Pingback: Rumus Volume Bola dgn Integral « Hirtanto

  51. leonk_antiminus

    kalo misalnya kita tidak tau rumus volume bola,,,tlong dikasi tau dnk, darimana asal mulanya rumus luas permukaan bola L=4π r2, ??? please tlong yah?? cz q pnasaran bgt nihh,,,

    Reply ↓
  52. leonk_antiminus

    kalo misalnya kita tidak tau rumus volume bola,,,tlong dikasi tau dnk darimana asalnya rumus luas permukaan bola L=4π r2, ?? tlong yah,,,pnasaran nih……. 8O

    Reply ↓
  54. elis

    :wink: AQ MW TNYA NWEH………………
    pembuktian dr rumus2x neh gmn yah………

    v=4/3(phi x R3)
    v=1/6phi.a(3r kuadrad(r2) plus a2)

    brp yah…………..

    Reply ↓
  55. jeff

    mas… q mau tanya sebenarnya knapa integral bisa d pakai untuk mencari luas dan volum sebuah benda??? asal mula d temukannya integral dari mana c????? n knapa bisa kpikiran sperti itu???? mohon d balas…. terimakasih…

    Reply ↓
  59. nisa

    mas mau tanya kalao rumus LUAS PERMUKAAN KERUCUT cara pembuktiannya gimana ya?
    tapi jangan menggunakan integral, soalny saya belom belajar tentang itu. Bales ya mas, saya ada tugas dari guru saya.. Makasih banyak mas
    ditunggu ya

    Reply ↓
  61. sangdedi Post author

    @fajar : maaf maksudnya gmn yah ? karena setau saya kulit bola adalah luas permukaan bola.. :roll:
    @nisa : coba baca ini -> http://klikbelajar.com/pelajaran-sekolah/pelajaran-matematika/pembuktian-luas-selimut-kerucut/
    @t2 : maaf saya tidak ada, coba ke ujian online klikbelajar.com/ujian-online saja :!:
    @jeff : coba baca ini -> http://klikbelajar.com/pelajaran-sekolah/pelajaran-matematika/pelajaran-matematika-konsep-dasar-turunan-differensial/

    terima kasih atas komentarnya :-)

    Reply ↓
  65. pipit

    mengapa bisa dapat rumus volume tabung seperti itu????
    tolong dijawab cepat soalnya buat hari selasa tgl 28
    trimakasih
    kirim aja ke fb ku ya
    ni nama fbnya; nur fitriana fajrin :D :wink: :!:

    Reply ↓
  66. pipit

    mengapa pembukktian tentang rumus volume tabung tidak ada???
    boleh nanya ga ? tentang tabung mengapa biasa dapa rumus volume tabung seperti v.r kuadrat.t????
    tolong di jawab ya segera trimakasih :D

    Reply ↓
  69. sangdedi Post author

    @rahma : rumus integral :|
    @lia : kulit bola = 4 phi r^2, volume bola = 4/3 phi r^3 :wink:
    @pipit : rumus volume tabung luas alas x tinggi. Dikarenakan luas alasnya = phi r^2
    tinggal dikalikan tingginya makanya rumusnya menjadi phi r^2 t
    @jani : kalo bisa tolong bantu lengkapi dong :oops:
    @risky : loh ini kan lagi membuktikan volume bola :roll:

    Reply ↓
  76. lutfi

    kak,,,,

    mencari rumus luas dan volume tembereng bola,pa bisa di cari dengan geometri….???

    kalo bisa minta di kasih tau or di kirimi cara-cara mencari rusnya…….?????

    Reply ↓
  88. ay...

    malem kak dedi.. mau minta tolong nih..
    luas cincin bola dan volume cincin bola itu gmana ya pembuktian rumusnya??? bingung kudu pake integral2 gitu.. :cry:
    makasi sebelumnya,,sy tunggu jawabannya..hehe :D

    Reply ↓
  90. fhaniez..

    kenapa membuktikan rumus volume bola harus menggunakan intregral yah??? kalau buat diajarkan ke anak SMP sepertinya mereka sulit mengerti. :(

    terus, qu rada bingung nih gimana caranya untuk buktiin rumus luas permukaan bola???
    bisa tolong bantuannya??thx b4 :-)

    Reply ↓
  93. sandi

    dear Pk.Dedy
    Mohon bantuannya :cry: :cry: :cry:
    Pak saya ada kesuliatn untuk mencari sebuah Volume dalam tabung tangki BBM
    bisa dibantu untuk mencari volumenya pak…
    terimakasih sebelumnya.

    BR.Sandy

    Reply ↓
  94. Alifia

    k’ . .
    bza lbih rinci lgi gq ??
    cozt , aq d.sruh gru ku prsentase ” pembuktian rmus volume bola :?
    plis blz k’ ..
    cozt, aq prsentase nyh abis lbaran . . :(

    Reply ↓
  99. Ulya

    aih,bantu banget :lol: makasih makasih,untung ada ini,alhamdulillah :o mumpung guru les lagi gk bisa dateng,maka nya saya cari di mbah google, eh ketemu ini :lol: sekali lagi makasih ya,doakan ini jawaban bener :wink: 5 jempol :!: :!: :!: :!: :!:

    Reply ↓
  102. Kelvin

    kk…

    minta tolong donk

    rumus Volume Bole kn : 4/3 π. r3

    Bsa gk kk jelaskn 1 per 1 drimana bsa muncul rumus itu??

    bth jwbnnya niee kk, bntr lg ad presentase

    trus, apa benar pembuktian Volume Bola bisa dengan 3 kali volume sebua kerucut dgn diamater dan tinggi yg sma??

    thx b4

    Reply ↓
  106. tika indah

    bleh numpang nnya y..
    gmna cranya mmbuktian rumus limas, limas terpancung, cincin bola, tembereng bola, kerucut, kerucut terpancung, prisma, prisma terpancung..
    sebelumnya makasih y.. :-)

    Reply ↓

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>